Studio della derivata di: (sin x)/x
Salve a tutti l'altro ieri stavo svolgendo un esercizio che richiedeva lo studio del grafico della funzione:
$ (sin x)/x $
Sono arrivato al punto in cui devo studiare quando la derivata prima è maggiore o uguale a zero, ottengo
$ (xcos x-senx)/x^2 >=0 $
come posso procedere nello studiare la disequazione?
Il professore velocemente a fine lezione mi ha consigliato di studiare i vari termini della disequazione come funzioni distinte, tuttavia non saprei in che maniera usare i risultati degli studi.
Mi ha inoltre fatto notare in maniera sbrigativa che i punti di massimo e minimo relativi della funzione "non sono periodici; detto brutalmente all'infinito la x per la quale la derivata prima si annulla è sempre più vicina al punto in cui f(x)=0".
Questo fatto in qualche modo dipende dalle intersezioni nel grafico della retta y=x con la funzione tangente? Ha abbozzato qualcosa sui miei appunti solo che non è molto chiaro
Oltretutto ha concluso dicendomi che i punti di minimo e di massimo relativi "andando all'infinito hanno sempre valori più piccoli e si schiacciano sull'asse x".
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee, mettendo ordine in questo caos?
Grazie!
$ (sin x)/x $
Sono arrivato al punto in cui devo studiare quando la derivata prima è maggiore o uguale a zero, ottengo
$ (xcos x-senx)/x^2 >=0 $
come posso procedere nello studiare la disequazione?
Il professore velocemente a fine lezione mi ha consigliato di studiare i vari termini della disequazione come funzioni distinte, tuttavia non saprei in che maniera usare i risultati degli studi.
Mi ha inoltre fatto notare in maniera sbrigativa che i punti di massimo e minimo relativi della funzione "non sono periodici; detto brutalmente all'infinito la x per la quale la derivata prima si annulla è sempre più vicina al punto in cui f(x)=0".
Questo fatto in qualche modo dipende dalle intersezioni nel grafico della retta y=x con la funzione tangente? Ha abbozzato qualcosa sui miei appunti solo che non è molto chiaro
Oltretutto ha concluso dicendomi che i punti di minimo e di massimo relativi "andando all'infinito hanno sempre valori più piccoli e si schiacciano sull'asse x".
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee, mettendo ordine in questo caos?
Grazie!
Risposte
"nuraghe":
$ (xcos x-senx)/x^2 >=0 $
come posso procedere nello studiare la disequazione?
Nota che il denominatore è sempre maggiore di zero per $x != 0$ quindi il segno dell'espressione lo decide il numeratore.
Quello che dice il tuo prof non è altro che una caratteristica di questa funzione, andano all'infinito essa "oscilla" intorno all'asse delle ascisse, con l'ampiezza della "oscillazione" che tende a zero (guarda lo spoiler):
Uno studio abbastanza dettagliato dell'equazione non elementare $\tan x = x$ (alla quale il tuo problema si riconduce) lo trovi come nota spoilerata in questo mio vecchio post.
La disequazione corrispondente si risolve di conseguenza.
La disequazione corrispondente si risolve di conseguenza.
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