Studio della derivata di: (sin x)/x

sulas.antonio1997
Salve a tutti l'altro ieri stavo svolgendo un esercizio che richiedeva lo studio del grafico della funzione:

$ (sin x)/x $

Sono arrivato al punto in cui devo studiare quando la derivata prima è maggiore o uguale a zero, ottengo

$ (xcos x-senx)/x^2 >=0 $

come posso procedere nello studiare la disequazione?
Il professore velocemente a fine lezione mi ha consigliato di studiare i vari termini della disequazione come funzioni distinte, tuttavia non saprei in che maniera usare i risultati degli studi.
Mi ha inoltre fatto notare in maniera sbrigativa che i punti di massimo e minimo relativi della funzione "non sono periodici; detto brutalmente all'infinito la x per la quale la derivata prima si annulla è sempre più vicina al punto in cui f(x)=0".
Questo fatto in qualche modo dipende dalle intersezioni nel grafico della retta y=x con la funzione tangente? Ha abbozzato qualcosa sui miei appunti solo che non è molto chiaro
Oltretutto ha concluso dicendomi che i punti di minimo e di massimo relativi "andando all'infinito hanno sempre valori più piccoli e si schiacciano sull'asse x".
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee, mettendo ordine in questo caos?

Grazie!

Risposte
singularity
"nuraghe":


$ (xcos x-senx)/x^2 >=0 $

come posso procedere nello studiare la disequazione?


Nota che il denominatore è sempre maggiore di zero per $x != 0$ quindi il segno dell'espressione lo decide il numeratore.

Quello che dice il tuo prof non è altro che una caratteristica di questa funzione, andano all'infinito essa "oscilla" intorno all'asse delle ascisse, con l'ampiezza della "oscillazione" che tende a zero (guarda lo spoiler):


gugo82
Uno studio abbastanza dettagliato dell'equazione non elementare $\tan x = x$ (alla quale il tuo problema si riconduce) lo trovi come nota spoilerata in questo mio vecchio post.
La disequazione corrispondente si risolve di conseguenza.

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