Studio della convergenza uniforme
Ciao a tutti,
non riesco a capire quali sono i passi da fare per studiare la convergenza uniforme.
Ad esempio, ho un esercizio che mi chiede di verificare che la successione $f_n(x)=x^n$ per $x\in(-1,1)$ converge puntualmente verso $f(x)=0$ ma non uniformemente.
Per la convergenza puntuale ho studiato il limite per $n$ tendente ad $\oo$, ovvero ho fatto
$lim_{n\to\oo}x^n=0$ essendo la $x\in(-1,1)$ estremi non compresi, quindi è vero che $f_n(x)=x^n$ converge puntualmente verso $f(x)=0$.
Ma per la convergenza uniforme non riesco a capire come studiarla.
Grazie a coloro che mi aiuteranno
.
EDIT:
la soluzione riportata sul libro recita
$"sup"_{x\in(-1,1)} |x^n-0|="sup"_{x\in(-1,1)}|x^n|=1$, la successione non converge uniformemente.
Ma che vuol dire, quale è il ragionamento e i passaggi che ci sono dietro?
non riesco a capire quali sono i passi da fare per studiare la convergenza uniforme.
Ad esempio, ho un esercizio che mi chiede di verificare che la successione $f_n(x)=x^n$ per $x\in(-1,1)$ converge puntualmente verso $f(x)=0$ ma non uniformemente.
Per la convergenza puntuale ho studiato il limite per $n$ tendente ad $\oo$, ovvero ho fatto
$lim_{n\to\oo}x^n=0$ essendo la $x\in(-1,1)$ estremi non compresi, quindi è vero che $f_n(x)=x^n$ converge puntualmente verso $f(x)=0$.
Ma per la convergenza uniforme non riesco a capire come studiarla.
Grazie a coloro che mi aiuteranno
.EDIT:
la soluzione riportata sul libro recita
$"sup"_{x\in(-1,1)} |x^n-0|="sup"_{x\in(-1,1)}|x^n|=1$, la successione non converge uniformemente.
Ma che vuol dire, quale è il ragionamento e i passaggi che ci sono dietro?
Risposte
Per ogni fissato valore di \(n\), devi calcolare questo sup:
\[
S_n=\sup \{ |x^n|\, |\, x\in(-1, 1)\}.
\]
Quanto fa? Aiutati con la simmetria di \(|x^n|\), che è una funzione pari.
\[
S_n=\sup \{ |x^n|\, |\, x\in(-1, 1)\}.
\]
Quanto fa? Aiutati con la simmetria di \(|x^n|\), che è una funzione pari.
Cioè, in pratica dovrei vedere dove, nell'intervallo $(-1,1)$ la mia funzione $|x^n|$ assume valore massimo?
Non necessariamente un "valore massimo". Devi calcolare un estremo superiore (che non necessariamente è un massimo). Hai sicuramente già fatto esercizi così in analisi 1.
Si, ma il problema è che non ricordo come si calcola il sup...
Non è che mi potresti dare una mano?
EDIT: OK, mi sembra di aver capito che lo studio del sup è importante per studiare la convergenza uniforme, mi potreste aiutare a svolgere questo studio e magari linkarmi qualche dispensa utile?
Grazie mille
Non è che mi potresti dare una mano?
EDIT: OK, mi sembra di aver capito che lo studio del sup è importante per studiare la convergenza uniforme, mi potreste aiutare a svolgere questo studio e magari linkarmi qualche dispensa utile?
Grazie mille
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