Studio della convergenza puntuale, uniforme e totale di una serie di potenze
salve ragazzi ho un problema con questa serie di potenze in alcuni punti, mi spiego meglio !
+infinito
somma (-1)^n/(n+2^n) * (x^2-1)^n vabbe fino e qua e semplice impongo x^2-1 = y e diventa una serie di potenze
n=0
applico il teorema di cauchy-hadamard e mi trovo che il limite fa 1/2 quindi il raggio di convergenza è = 2
da cui mi ricavo che l'intervallo di convergenza è (-2,2) -> y appartiene a (-2,2)
ora dovrei valutare negli estremi per determinare se sono compresi o no nella convergenza
e faccio
+ infinito
somma (-1)^n/(n+2^n) * (-2)^n
n=0
e
+infinito
somma (-1)^n/(n+2^n) * (2)^n
n=0
uno dei principali problemi è qui....in queste 2 serie, come faccio a determinare se sono convergenti o no ? con quale criterio ?
inoltre: volendo scrivere l'intervallo di convergenza portato a "x" scrivo
sistema :
x^2-1<2
x^2-1>-2
mi ricavo che
x<1
x>0 quindi 0
non ho capito cosa intendi. come svolgeresti l'esercizio? potresti mettere i passaggi?
l'ultima serie che hai postato non è una serie di funzioni ma solo una serie numerica a segni alterni. dopo aver semplificato i 2^n risolvi con Leibnitz.
ti invito infine a leggere questo link su come scrivere le formule perchè si fa abbastanza fatica a capire ciò che scrivi.[/quote]
Intendevo che avendo la serie $ sum_(n=0)^∞y^n/(n+2) $ allora la serie converge per $ |y|<2 $ quindi avendo un intervallo $ (-2,2) $ vado a sostituire questi in $ y $ e dopo aver verificato se converge oppure no agli estremi avremo che la serie ad esempio (dico ad esempio perchè non ho continuato l'esercizio e non so se converge o meno agli estremi) converge per $ -2<=y<=2 $ e tenendo conto della sostituzione iniziale fatta,avremo che $ -2<=1-x^2<=2 $ da cui $ -sqrt(3)
No grazie a te che me lo hai fatto notare,mi ero dimenticato di scriverlo
+infinito
somma (-1)^n/(n+2^n) * (x^2-1)^n vabbe fino e qua e semplice impongo x^2-1 = y e diventa una serie di potenze
n=0
applico il teorema di cauchy-hadamard e mi trovo che il limite fa 1/2 quindi il raggio di convergenza è = 2
da cui mi ricavo che l'intervallo di convergenza è (-2,2) -> y appartiene a (-2,2)
ora dovrei valutare negli estremi per determinare se sono compresi o no nella convergenza
e faccio
+ infinito
somma (-1)^n/(n+2^n) * (-2)^n
n=0
e
+infinito
somma (-1)^n/(n+2^n) * (2)^n
n=0
uno dei principali problemi è qui....in queste 2 serie, come faccio a determinare se sono convergenti o no ? con quale criterio ?
inoltre: volendo scrivere l'intervallo di convergenza portato a "x" scrivo
sistema :
x^2-1<2
x^2-1>-2
mi ricavo che
x<1
x>0 quindi 0
Risposte
Allora,tu hai questa serie:
$ sum_(n=0)^∞(-1)^n(x^2-1)^n/(n+2^n) $
Innanzitutto quando hai una serie a segno alterno moltiplica il $ (-1)^n $ con $ (x^2-1)^n $ così da ottenere $ sum_(n=0)^∞(-x^2+1)^n/(n+2^n) $.
Ora poni $ -x^2+1=y $ così da passare alla serie di potenze del tipo:
$ sum_(n=0)^∞(y)^n/(n+2^n) $
A questo punto calcoli il raggio di convergenza R che verrà 2 dunque la serie $ sum_(n=0)^∞(y)^n/(n+2^n) $ convergerà totalmente in $ (-2,2) $ a questo punto essendo un intervallo aperto vai a verificare la convergenza agli estremi,ovvero sostituisci $ -2,2 $ al posto di y così da ottenere due serie numeriche di cui dovrai verificare la convergenza con i soliti criteri,continua tu ora,se hai qualche altra domanda chiedi pure.
$ sum_(n=0)^∞(-1)^n(x^2-1)^n/(n+2^n) $
Innanzitutto quando hai una serie a segno alterno moltiplica il $ (-1)^n $ con $ (x^2-1)^n $ così da ottenere $ sum_(n=0)^∞(-x^2+1)^n/(n+2^n) $.
Ora poni $ -x^2+1=y $ così da passare alla serie di potenze del tipo:
$ sum_(n=0)^∞(y)^n/(n+2^n) $
A questo punto calcoli il raggio di convergenza R che verrà 2 dunque la serie $ sum_(n=0)^∞(y)^n/(n+2^n) $ convergerà totalmente in $ (-2,2) $ a questo punto essendo un intervallo aperto vai a verificare la convergenza agli estremi,ovvero sostituisci $ -2,2 $ al posto di y così da ottenere due serie numeriche di cui dovrai verificare la convergenza con i soliti criteri,continua tu ora,se hai qualche altra domanda chiedi pure.
piccolo appunto: quando devi sostituire gli estremi devi sostituirli nella x non nella y.
No,nella y poi alla fine appena hai trovato l'intervallo di convergenza tieni conto della sostituzione fatta inizialmente
scusatemi perche il raggio di convergenza viene 2 ? inoltre avrei un altro problema...se mi trovo di fronte ad una serie del genere come la risolvo ?
inf
somma 1/(2^n*n^3)*(-2)^n
n=1
inf
somma 1/(2^n*n^3)*(-2)^n
n=1
partiamo dal presupposto che R=1/L dove L è il limite
$ lim_(n -> +oo) |a_(n+1)|/(|a_n|) $ e dove $ a_n=1/(n+2^n) $ . se svolgi il limite trovi 1/2 e se ne fai 1/L trovi 2. l'insieme di convergenza dato da christian95 però mi sembra sbagliato, o meglio non ha finito di calcolarlo. trovato 2, l'insieme di convergenza puntuale è dato dalle soluzione della disequazione $ |1-x^2|<2 $ dove però devi valutare gli estremi sostituendoli al posto della x.
non ho capito cosa intendi. come svolgeresti l'esercizio? potresti mettere i passaggi?
l'ultima serie che hai postato non è una serie di funzioni ma solo una serie numerica a segni alterni. dopo aver semplificato i 2^n risolvi con Leibnitz.
ti invito infine a leggere questo link su come scrivere le formule perchè si fa abbastanza fatica a capire ciò che scrivi.
$ lim_(n -> +oo) |a_(n+1)|/(|a_n|) $ e dove $ a_n=1/(n+2^n) $ . se svolgi il limite trovi 1/2 e se ne fai 1/L trovi 2. l'insieme di convergenza dato da christian95 però mi sembra sbagliato, o meglio non ha finito di calcolarlo. trovato 2, l'insieme di convergenza puntuale è dato dalle soluzione della disequazione $ |1-x^2|<2 $ dove però devi valutare gli estremi sostituendoli al posto della x.
"christian95":
No,nella y poi alla fine appena hai trovato l'intervallo di convergenza tieni conto della sostituzione fatta inizialmente
non ho capito cosa intendi. come svolgeresti l'esercizio? potresti mettere i passaggi?
l'ultima serie che hai postato non è una serie di funzioni ma solo una serie numerica a segni alterni. dopo aver semplificato i 2^n risolvi con Leibnitz.
ti invito infine a leggere questo link su come scrivere le formule perchè si fa abbastanza fatica a capire ciò che scrivi.
$ sum -1/n^3 $
(chiedo scusa per la scrittura ma è la prima volta)
la sommatoria e da 1 all'infinito, se ho capito bene praticamnete questa sommatoria puo essere ricondotta seguendo il consiglio di cooper ad una
$ sum -(1)^n*1/n^3 $
è giusto ?
(chiedo scusa per la scrittura ma è la prima volta)
la sommatoria e da 1 all'infinito, se ho capito bene praticamnete questa sommatoria puo essere ricondotta seguendo il consiglio di cooper ad una
$ sum -(1)^n*1/n^3 $
è giusto ?
non proprio quella che hai scritto tu non è una serie a segni alterni. se ho interpretato bene la scrittura, hai la seguente serie:
$ sum_(n = \1) ^(+oo)(-2)^n1/(2^n n^3) $ questa la possiamo vedere come $ sum_(n = \1) ^(+oo)(-1)^n 2^n1/(2^n n^3) $ e se ora semplifichiamo 2^n otteniamo $ sum_(n = \1) ^(+oo)(-1)^n1/n^3 $
questa serie ora la studi con Leibnitz (vedi se 1/n^3 è infinitesimo e decrescente).
$ sum_(n = \1) ^(+oo)(-2)^n1/(2^n n^3) $ questa la possiamo vedere come $ sum_(n = \1) ^(+oo)(-1)^n 2^n1/(2^n n^3) $ e se ora semplifichiamo 2^n otteniamo $ sum_(n = \1) ^(+oo)(-1)^n1/n^3 $
questa serie ora la studi con Leibnitz (vedi se 1/n^3 è infinitesimo e decrescente).
"cooper":
partiamo dal presupposto che R=1/L dove L è il limite
$ lim_(n -> +oo) |a_(n+1)|/(|a_n|) $ e dove $ a_n=1/(n+2^n) $ . se svolgi il limite trovi 1/2 e se ne fai 1/L trovi 2. l'insieme di convergenza dato da christian95 però mi sembra sbagliato, o meglio non ha finito di calcolarlo. trovato 2, l'insieme di convergenza puntuale è dato dalle soluzione della disequazione $ |1-x^2|<2 $ dove però devi valutare gli estremi sostituendoli al posto della x.
[quote="christian95"]No,nella y poi alla fine appena hai trovato l'intervallo di convergenza tieni conto della sostituzione fatta inizialmente
non ho capito cosa intendi. come svolgeresti l'esercizio? potresti mettere i passaggi?
l'ultima serie che hai postato non è una serie di funzioni ma solo una serie numerica a segni alterni. dopo aver semplificato i 2^n risolvi con Leibnitz.
ti invito infine a leggere questo link su come scrivere le formule perchè si fa abbastanza fatica a capire ciò che scrivi.[/quote]
Intendevo che avendo la serie $ sum_(n=0)^∞y^n/(n+2) $ allora la serie converge per $ |y|<2 $ quindi avendo un intervallo $ (-2,2) $ vado a sostituire questi in $ y $ e dopo aver verificato se converge oppure no agli estremi avremo che la serie ad esempio (dico ad esempio perchè non ho continuato l'esercizio e non so se converge o meno agli estremi) converge per $ -2<=y<=2 $ e tenendo conto della sostituzione iniziale fatta,avremo che $ -2<=1-x^2<=2 $ da cui $ -sqrt(3)
si adesso si, scusa! 
pensavo volessi sostituire gli estremi nella y e basta senza poi considerare 1-x^2.
pensavo volessi sostituire gli estremi nella y e basta senza poi considerare 1-x^2.
"cooper":
si adesso si, scusa!
No grazie a te che me lo hai fatto notare,mi ero dimenticato di scriverlo
No grazie a te che me lo hai fatto notare! mi ero dimenticato di scriverlo
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