Studio della convergenza integrale improprio
Salve a tutti,
ho provato a fare questo integrale improprio:
$ \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(2+4x^5)(arctg(\sqrt(x^3)))} dx$
in prima ho seguito una strada sbagliata (non so se sono corretti i passaggi, ho iniziato da poco a fare integrali impropri usando i criteri del confronto).
Ho proseguito dicendo che :
$ \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(2+4x^5)(arctg(\sqrt(x^3)))} dx ~~ x\to0 \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(2+4x^5)(\sqrt(x^3))}$
Ho continuato dicendo che:
$ \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(2+4x^5)(\sqrt(x^3))} dx < \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(x^5)(\sqrt(x^3))} dx = \int_0^2 \frac {1}{(x^5)} $
Essendo un $\alpha$ (pi) integrale, dovrebbe divergere giusto?
Quindi sapendo che $\frac{1}{x^5}$ diverge aggiungo che non posso concludere cosa fa la prima funzione.
Il procedimento fin qui è corretto ?
Adesso per capire come si comporta dovrei porre che $\root(3)(x) > \root(2)(x)$ e continuare come prima ?
ho provato a fare questo integrale improprio:
$ \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(2+4x^5)(arctg(\sqrt(x^3)))} dx$
in prima ho seguito una strada sbagliata (non so se sono corretti i passaggi, ho iniziato da poco a fare integrali impropri usando i criteri del confronto).
Ho proseguito dicendo che :
$ \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(2+4x^5)(arctg(\sqrt(x^3)))} dx ~~ x\to0 \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(2+4x^5)(\sqrt(x^3))}$
Ho continuato dicendo che:
$ \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(2+4x^5)(\sqrt(x^3))} dx < \int_0^2 \frac {root(3) (x)}{(x^5)(\sqrt(x^3))} dx = \int_0^2 \frac {1}{(x^5)} $
Essendo un $\alpha$ (pi) integrale, dovrebbe divergere giusto?
Quindi sapendo che $\frac{1}{x^5}$ diverge aggiungo che non posso concludere cosa fa la prima funzione.
Il procedimento fin qui è corretto ?
Adesso per capire come si comporta dovrei porre che $\root(3)(x) > \root(2)(x)$ e continuare come prima ?
Risposte
Ciao! 
Sei proprio sicuro che $root(3) (x)/((2+4x^5)(arctan(\sqrt(x^3))) $
sia asintotico a $ 1/x^5 $ per $ x->0 $ ? Controlla meglio.
Sei proprio sicuro che $root(3) (x)/((2+4x^5)(arctan(\sqrt(x^3))) $
sia asintotico a $ 1/x^5 $ per $ x->0 $ ? Controlla meglio.
- [/list:u:eovha6jk]Ciao grazie per la risposta.
Ho scritto che è asintotica per $x\to0 arctg (\sqrt (x^3)) $.
Li pensavo di poter arrivare per confronto semplice dalla seconda funzione dicendo che il primo integrale è $< \int_0^2 \frac{1}{x^5}$.
Sinceramente non so se i miei passaggi sono corretti e se quello è il modo di operare.
Allora intanto riscrivo la funzione presa in esame:
$root(3) (x)/((2+4x^5)(arctan(\sqrt(x^3)))) = root(3)(x)/(2arctanroot(3)(x)+4x^5arctanroot(3)(x))$
Da qui procediamo pure asintoticità per $x->0$
$root(3)(x)/(2arctanroot(3)(x)+4x^5arctanroot(3)(x)) ~ root(3)(x)/(2root(3)(x)+4x^5root(3)(x))~ root(3)(x)/(2root(3)(x))=1/2
$
Ti ci ritrovi fino a qui?
$root(3) (x)/((2+4x^5)(arctan(\sqrt(x^3)))) = root(3)(x)/(2arctanroot(3)(x)+4x^5arctanroot(3)(x))$
Da qui procediamo pure asintoticità per $x->0$
$root(3)(x)/(2arctanroot(3)(x)+4x^5arctanroot(3)(x)) ~ root(3)(x)/(2root(3)(x)+4x^5root(3)(x))~ root(3)(x)/(2root(3)(x))=1/2
$
Ti ci ritrovi fino a qui?
Potresti spiegarmi l ultima equivalenza asintotica?
Guardiamo il denominatore:
$ 2root(3)(x) + 4x^5root(3)(x) $ , quale dei due termini tende a $ 0$ più rapidamente?
Naturalmente $2root(3)(x) $ , da qui l'equivalenza asintotica
Infatti il limite per $ x->0^+$ di quella funzione fa proprio $1/2$
$ 2root(3)(x) + 4x^5root(3)(x) $ , quale dei due termini tende a $ 0$ più rapidamente?
Naturalmente $2root(3)(x) $ , da qui l'equivalenza asintotica
Infatti il limite per $ x->0^+$ di quella funzione fa proprio $1/2$
Ma per avere un equivalenza asintotica il $lim x\to0 \frac {f}{g}$ non deve essere 1 ?
Scusa per come ho scritto il limite non ricordo adesso la sintass della formulai.
Scusa per come ho scritto il limite non ricordo adesso la sintass della formulai.
La tua considerazione è esatta, hai $ f=root(3)x $ e $ g=2root(3)x $
Puoi scrivere cosi: $ 1/2lim_(x->0+)root(3)x/root(3)x=1/2*1=1/2 $
L'equivalenza asintotica è in evidenza, solo che il tutto è moltiplicato per $1/2$
Puoi scrivere cosi: $ 1/2lim_(x->0+)root(3)x/root(3)x=1/2*1=1/2 $
L'equivalenza asintotica è in evidenza, solo che il tutto è moltiplicato per $1/2$
Io intendevo dire con $f =2\sqrt (x) + 4x^5\sqrt (x)$ e $g = 2\sqrt (x)$ per poi passare al $lim \frac {f}{g} $ per $x\to0$. Non sarebbe quel limite l'equivalenza asintotica ?
Si assolutamente, hanno chiaramente lo stesso carattere
In ogni caso, cosa puoi concludere nell'integrale dal fatto che in $0$ la funzione si comporta come $ 1/2 $?
In ogni caso, cosa puoi concludere nell'integrale dal fatto che in $0$ la funzione si comporta come $ 1/2 $?
Sì conclude che per confronto asintotico la funzione converge ad 1/2.
Grazie mille per i chiarimenti.
Grazie mille per i chiarimenti
.
Esatto, quello che sembrava un integrale improprio in realtà si è dimostrato un normale integrale definito, in quanto 1/2 è oltretutto una discontinuità eliminabile per la funzione considerata
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