Studio della convergenza di una successione di funzioni
Trovo tra i vecchi appelli di Analisi questa successione :
$ f_n(x) = ( \frac{x-1}{x+1} )^{n} $ per $ 1<= x <= 2n $
ed
$ f_n(x) = e^(\frac{n}{x}) $ con $ x >= 2n $
Come studiereste la $ f_n(x) $ ?
Grazie a tutti
$ f_n(x) = ( \frac{x-1}{x+1} )^{n} $ per $ 1<= x <= 2n $
ed
$ f_n(x) = e^(\frac{n}{x}) $ con $ x >= 2n $
Come studiereste la $ f_n(x) $ ?
Grazie a tutti
Risposte
La prima prima basta ricordarsi cosa succede alla successione di funzione $y^n$
Per la seconda per $x>0$ banalmente diverge, mentre per $x<0$?
Per la seconda per $x>0$ banalmente diverge, mentre per $x<0$?
Ciao e grazie x il tuo contributo.Solo due note:non so se hai ben notato le ipotesi sulla x.Questa infatti non può essere <=1 per la prima funzione ed è sicuramente >= di 2n nella seconda.Da cui non credo si possano prendere in esame nello studio le due considerazioni e cioè x <= 0 ed il caso semplice della x > 0.
Considera che $(x-1)/(x+1)=y(x)in[-1,1],forallxgeq0$ dunque
$f_n(0)=(-1)^n -> f o l d$
$f_n(x_0)->0,forallx_0 in(0,+infty)$
Quindi $f_n -> 0$ puntualmente in $(0,+infty)$ e anche in $[1,b],b>1$
Ora nello studiare la convergenza uniforme consideriamo la derivata fissando $n$
$f’_n(x)=n((x-1)/(x+1))^(n-1)*2/(x+1)^2$
che è positiva o nulla per ogni $x in[1,b]$ pertanto $f$ è crescente in $[1,b]$ e si ha
$((b-1)/(b+1))^n=lim_(x->b^(-))f_n(x)=s u p{|f_n(x)|: x in[1,b]}$
Quindi essendo quella quantità $||f_n-g||_(infty)$
Sappiamo che per $b>0$ quella quantità tende a $0$ e pertanto la convergenza è uniforme.
Dunque $f_n->0$ uniformemente in ogni intervallo $[1,b]$ tale che $b>1$
Non resta che verificare cosa succede quando $b=+infty$ che è quello che succederebbe al tuo intervallo quando $n->+infty$
Ma si conclude subito che essendo $f_n$ strettamente crescente in $[1,+infty)$
$1^n=lim_(x->+infty)f_n(x)= s u p{|f_n(x)|:x in[1,+infty)}$
Dunque la convergenza non è uniforme se $b=+infty$
NB: in $[1,b]$ ho considerato che $f_n(x)=|f_n(x)|$
$f_n(0)=(-1)^n -> f o l d$
$f_n(x_0)->0,forallx_0 in(0,+infty)$
Quindi $f_n -> 0$ puntualmente in $(0,+infty)$ e anche in $[1,b],b>1$
Ora nello studiare la convergenza uniforme consideriamo la derivata fissando $n$
$f’_n(x)=n((x-1)/(x+1))^(n-1)*2/(x+1)^2$
che è positiva o nulla per ogni $x in[1,b]$ pertanto $f$ è crescente in $[1,b]$ e si ha
$((b-1)/(b+1))^n=lim_(x->b^(-))f_n(x)=s u p{|f_n(x)|: x in[1,b]}$
Quindi essendo quella quantità $||f_n-g||_(infty)$
Sappiamo che per $b>0$ quella quantità tende a $0$ e pertanto la convergenza è uniforme.
Dunque $f_n->0$ uniformemente in ogni intervallo $[1,b]$ tale che $b>1$
Non resta che verificare cosa succede quando $b=+infty$ che è quello che succederebbe al tuo intervallo quando $n->+infty$
Ma si conclude subito che essendo $f_n$ strettamente crescente in $[1,+infty)$
$1^n=lim_(x->+infty)f_n(x)= s u p{|f_n(x)|:x in[1,+infty)}$
Dunque la convergenza non è uniforme se $b=+infty$
NB: in $[1,b]$ ho considerato che $f_n(x)=|f_n(x)|$
Grazie x i preziosi dettagli.Mi torna!Cosa vuol dire "fold" all' inizio?In quanto alla seconda fn mi pare converga uniformemente..ancora grazie..
Figurati. Per fold intendo che non ammette limite 
Comunque per la seconda prova a postare qualcosa, che lavoriamo su quello, magari la convergenza puntuale.
Comunque per la seconda prova a postare qualcosa, che lavoriamo su quello, magari la convergenza puntuale.
In realtà dopo anni ed anni ho ripreso sia l'Analisi che la Geometria.
Ho rispolverato dei vecchi temi di esame e ce ne sono molti di impegnativi e belli.
Proverò a postarli. Il mio prof era un appassionato di serie, successioni di funzioni e studi di queste...alcune delle quali originalissime,fatte al tempo per by-passare le calcolatrici grafiche (credo).
Per la seconda successione che avevo inserito nel post, ne scrivo uno a parte?
Ho anche la soluzione di una serie che avevo chiesto nel forum. Verificatane la correttezza, la inserirò a beneficio di quanti vorranno approfondire e magari prenderci qualche spunto.
A.
Ho rispolverato dei vecchi temi di esame e ce ne sono molti di impegnativi e belli.
Proverò a postarli. Il mio prof era un appassionato di serie, successioni di funzioni e studi di queste...alcune delle quali originalissime,fatte al tempo per by-passare le calcolatrici grafiche (credo).
Per la seconda successione che avevo inserito nel post, ne scrivo uno a parte?
Ho anche la soluzione di una serie che avevo chiesto nel forum. Verificatane la correttezza, la inserirò a beneficio di quanti vorranno approfondire e magari prenderci qualche spunto.
A.
Gandalf ma tu sei sicuro che il testo fosse così? Perché a mio avviso ha poco senso parlare di convergenza uniforme per la successione di funzioni \(f_n\) se il dominio di \(f_n\) dipende da \(n\).
Sicurissimo!!Certezza al 100%.
L'obiettivo era proprio quello: convergenza uniforme su tutti gli intervallini. Mi ricordo ancora molte correzioni... (era il 1994 o 1995 mi pare
). Poi esternamente all'intervallo per $ x> 2n $ c'è l'altra funzione.
Perchè non hai visto gli studi di funzione quelli che erano....assai asssai difficoltosi.
Ne posterò qualcuno......
A.
L'obiettivo era proprio quello: convergenza uniforme su tutti gli intervallini. Mi ricordo ancora molte correzioni... (era il 1994 o 1995 mi pare
). Poi esternamente all'intervallo per $ x> 2n $ c'è l'altra funzione.Perchè non hai visto gli studi di funzione quelli che erano....assai asssai difficoltosi.
Ne posterò qualcuno......
A.
AAaaahhhhhnnnnnn !!!!
E allora non hai scritto bene la traccia, Gandalf. Pensavo fossero due studi separati invece no: la successione di funzioni è UNA SOLA, ed è data da questa definizione:
\begin{equation*}
f_n(x)=\begin{cases} \left( \frac{x-1}{x+1}\right)^n, &1\le x \le 2n\\ e^\frac{n}{x}, & x> 2n.\end{cases}\end{equation*}
Per ogni \(n\in\mathbb N\) fissato, questo definisce una funzione \(f_n\colon [1, \infty)\to \mathbb R\). Non cascare nella vecchia trappola di considerare come due funzioni le funzioni definite per casi.
E allora non hai scritto bene la traccia, Gandalf. Pensavo fossero due studi separati invece no: la successione di funzioni è UNA SOLA, ed è data da questa definizione:
\begin{equation*}
f_n(x)=\begin{cases} \left( \frac{x-1}{x+1}\right)^n, &1\le x \le 2n\\ e^\frac{n}{x}, & x> 2n.\end{cases}\end{equation*}
Per ogni \(n\in\mathbb N\) fissato, questo definisce una funzione \(f_n\colon [1, \infty)\to \mathbb R\). Non cascare nella vecchia trappola di considerare come due funzioni le funzioni definite per casi.
Tutto il mio lavoro è andato sprecato inutilmente 
Ops....forse ho dato per scontati alcuni elementi del testo omettendoli nei formalismi della scrittura.
Comunque si la traccia era quella da te esposta alla fine.
@Anto, perchè il tuo lavoro non è servito?
E' corretto fino ad un certo punto.
La mia difficoltà sta nel come impostare lo studio "intrecciando" la variabile $ X $ con il l'indice della successione.
A.
Comunque si la traccia era quella da te esposta alla fine.
@Anto, perchè il tuo lavoro non è servito?
E' corretto fino ad un certo punto.
La mia difficoltà sta nel come impostare lo studio "intrecciando" la variabile $ X $ con il l'indice della successione.
A.
Avendo rivisto l'esposizione di Anto,
è corretto tutto.
La seconda definizione, nello studio della successione , non va presa in considerazione.
Il dominio della x si allarga insieme all'indice e per n che tende all'infinito, la variabile della prima delle 2 funzioni che costituiscono la definizione della successione $ f_n(x) $ risulta coprire tutto l'asse reale.
Correggetemi qualora avessi detto qualche "corbelleria"
è corretto tutto.
La seconda definizione, nello studio della successione , non va presa in considerazione.
Il dominio della x si allarga insieme all'indice e per n che tende all'infinito, la variabile della prima delle 2 funzioni che costituiscono la definizione della successione $ f_n(x) $ risulta coprire tutto l'asse reale.
Correggetemi qualora avessi detto qualche "corbelleria"
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