Studio della convergenza di una serie NON a termini positivi con seno
Salve,
ho fatto una domanda simile recentemente che comprendeva una serie con una funzione goniometrica al suo interno e mi è stato spiegato di usare il teorema del confronto. Il problema con il seguente esercizio però è che la serie non è a termini positivi:
$\sum_{n=1}^\infty (sin n^2)/(n^3-3)$
La serie non è a termini positivi poichè il denominatore è definitvamente positivo ma il numeratore oscillerà tra -1 e 1.
$-1/(n^3-3)<=(sin n^2)/(n^3-3)<=1/(n^3-3)$
Da questo deduco che la serie non è a termini positivi e non posso usare il teorema del confronto.
Volevo quindi chiedere se l'applicazione del criterio della convergenza assoluta potesse aiutarmi. Io ho fatto così:
$\sum_{n=1}^\infty |(sin n^2)/(n^3-3)|$ così la serie diventa a termini positivi, giusto? Quindi applico il teorema del confronto:
$|(sin n^2)/(n^3-3)|<=|1/(n^3-3)|$
Dal momento che
$|1/(n^3-3)|$ è riconducibile alla serie armonica $|1/n^3|$ la serie $\sum_{n=1}^\infty |(sin n^2)/(n^3-3)|$ converge e quindi anche $\sum_{n=1}^\infty (sin n^2)/(n^3-3)$
Qui le domande sono 2:
1) si può utilizzare il valore assoluto per trasformare una serie non a valori positivi in una a valori positivi per poi utilizzare il teorema del confronto e di convergenza assoluta come ho fatto io?
2) la serie $\sum_{n=1}^\infty 1/(n^3-3)$ è già considerabile una serie armonica o al denominatore deve esserci esclusivamente $n^a$?
Grazie
ho fatto una domanda simile recentemente che comprendeva una serie con una funzione goniometrica al suo interno e mi è stato spiegato di usare il teorema del confronto. Il problema con il seguente esercizio però è che la serie non è a termini positivi:
$\sum_{n=1}^\infty (sin n^2)/(n^3-3)$
La serie non è a termini positivi poichè il denominatore è definitvamente positivo ma il numeratore oscillerà tra -1 e 1.
$-1/(n^3-3)<=(sin n^2)/(n^3-3)<=1/(n^3-3)$
Da questo deduco che la serie non è a termini positivi e non posso usare il teorema del confronto.
Volevo quindi chiedere se l'applicazione del criterio della convergenza assoluta potesse aiutarmi. Io ho fatto così:
$\sum_{n=1}^\infty |(sin n^2)/(n^3-3)|$ così la serie diventa a termini positivi, giusto? Quindi applico il teorema del confronto:
$|(sin n^2)/(n^3-3)|<=|1/(n^3-3)|$
Dal momento che
$|1/(n^3-3)|$ è riconducibile alla serie armonica $|1/n^3|$ la serie $\sum_{n=1}^\infty |(sin n^2)/(n^3-3)|$ converge e quindi anche $\sum_{n=1}^\infty (sin n^2)/(n^3-3)$
Qui le domande sono 2:
1) si può utilizzare il valore assoluto per trasformare una serie non a valori positivi in una a valori positivi per poi utilizzare il teorema del confronto e di convergenza assoluta come ho fatto io?
2) la serie $\sum_{n=1}^\infty 1/(n^3-3)$ è già considerabile una serie armonica o al denominatore deve esserci esclusivamente $n^a$?
Grazie
Risposte
1) Si chiama convergenza assoluta...
2) Quella serie è asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata con esponente $3$.
2) Quella serie è asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata con esponente $3$.
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