Studio della convergenza di una serie di fourier

[CallistoBello]

Si consideri la funzione 4-periodica definita da :

$ f(x)={ ( 1se 1<=|x|<=2 ),( 0 se |x|<1 ):}, x in [-2,2] $

1) cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di fourier associata a questa funzione?
2) cosa è possibile dire sulla "rapidità di convergenza a zero" dei coefficienti di fourier per questa funzione?



1)
Ho utilizzato il teorema secondo cui:

<R$ è regolare a tratti , allora la serie di fourier converge in ogni punto $x in (0,T)$
ed in particolare converge alla "media dei due limiti (destro e sinistro ) della f(x) in quel punto".
Negli estremi dell'intervallo $x=0$ ed $x=T$ abbiamo che la serie converge alla media:
$(f(0^+)+f(T^-))/2$
Inoltre, se f oltre ad essere regolare a tratti , è continua in tutto $[0,T]$ allora
la serie di fourier converge puntualmente "proprio ad f" in ogni punto dell'aperto $(0,T)$
ed in particolare,
se vale la condizione di raccordo continuo $f(0)=f(T)$ e cioè se "la periodizzata di f è continua in tutto R"
allora la serie di fourier converge anche negli estremi $x=0$ ed $x=T$ al valore comune $f(0)=f(T)$>>

Mio svolgimento:
$f(x)$ è regolare a tratti in $[-2,2]-{+-1}$ perché è regolare negli Intervallini $[-2,-1)$,$(-1,1)$,$(1,2]$
Però presenta delle discontinuità di salto in $x=-1$ ed in $x=1$

Quindi mi aspetto che: anche la sua periodizzata sia regolare a tratti , ma non continua nei punti $x=+-1+4k$, con k intero.

Ora, per il teorema di convergenza abbiamo che:
- la serie converge proprio ad $f(x)$ $AA x in (-2,2) $,$x!=+-1$
- siccome vale la condizione di raccordo continuo $f(-2)=f(2)$ la serie converge ad f anche negli estremi $x=-2$ ed $x=2$
- ora , per quanto riguarda il comportamento della serie nei punti di discontinuità , possiamo pensare all'intervallino $(-1,1)$ in cui la funzione è regolare e la serie converge "alla media di limite destro e limite sinistro".
Nello specifico: $(f(-1^+)+f(1^-))/2=(lim_(x->(-1)^+)f(x)+lim_(x->(1^-))f(x))/2 =0+0=0$


2)
Ho utilizzato il teorema secondo cui:
Lemma di riemann-Lebesgue
<< Se f è regolare a tratti in $[0,T]$, f è ivi integrabile ed abbiamo che
$a_k->0$ e $b_k-->0$ >>

<< Sia f una funzione T-periodica, SE per un certo intero $s>=1$ si ha che:
1. $f in C^(s-1)(R)$
2. f è regolare a tratti in [0,T]
abbiamo che:
$a_k=o(1/k^s)$ , $b_k=o(1/k^s)$ >>

Mio svolgimento:
Problema: la periodizzata non è continua su tutto R perché presenta delle discontinuità di salto.


sintesi:
- dovrei avere che la serie converge ad $1/2$ e non a $0$ ma non capisco perché
- dovrei avere che i coefficienti di fourier sono degli infinitesimi di ordine : o(1) ,
ma non mi è chiaro come ci si arriva visto che il teorema presuppone la derivabilità con continuità della periodizzata su tutto R

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

Vedo diversi errori...

Innanzitutto il valore nei punti di discontinuità è $(\lim_{x \to x_p^+}f(x) + \lim_{x \to x_p^-}f(x))/2 $: il punto $x_p$ è lo stesso, non sono due punti diversi...
La funzione è pari, quindi quando la rendi periodica i problemi di discontinuità ci sono anche in $- 2 $ e $2$ e negli altri similari, non solo in $- 1$ e $1$.
Per il punto 2) non fai prima a calcolarteli i coefficienti? La funzione è pari, quindi hai solo i coefficienti $a_n $ perché i $b_n $ sono tutti nulli...

[CallistoBello]

"pilloeffe":Innanzitutto il valore nei punti di discontinuità è limx→x+pf(x)+limx→x−pf(x)2: il punto xp è lo stesso, non sono due punti diversi...

Si , hai ragione .
Nella prima parte del teorema della convergenza puntuale bisogna specificare che:
"nei punti $x in (0,T)$ la serie di fourier converge ad un valore numerico che è :
$(lim_(x->x_0^-) f(x) + lim_(x->x_0^+) f(x))/2$

"pilloeffe":La funzione è pari, quindi quando la rendi periodica i problemi di discontinuità ci sono anche in −2 e 2 e negli altri similari, non solo in −1 e 1.

Non mi trovo.
La funzione da replicare su intervalli di ampiezza: T=4 è quella compresa tra [-2,2]
Quindi guardando il grafico della periodizzata ho che :
sia alla destra che alla sinistra dei punti di raccordo $x=+-2+4k$ la funzione è continua (vale 1)

https://www.wolframalpha.com/widgets/vi ... 68602aba0c

Alla sinistra del punto x=-2 , devo replicare "la parte costante ad 1" , no?

"pilloeffe":Per il punto 2) non fai prima a calcolarteli i coefficienti? La funzione è pari, quindi hai solo i coefficienti an perché i bn sono tutti nulli...

$a_h = -2/(kpi) sin(kpi/2)=-2/(kpi) (1)^k =-2/(kpi)$
Quindi per $k->+ oo $ va a 0 come $1/k$ , cioè è un $o(1/k)$ ?

[pilloeffe]

"CallistoBello":Quindi guardando il grafico della periodizzata ho che :
sia alla destra che alla sinistra dei punti di raccordo x=±2+4k la funzione è continua (vale 1)

https://www.wolframalpha.com/widgets/vi ... 68602aba0c

Ok, qui avevo interpretato male io. Non capisco però cosa c'entri la funzione di cui mi hai inviato il link, dato che

"CallistoBello":Si consideri la funzione 4-periodica definita da :

$ f(x)={ ( 1se 1<=|x|<=2 ),( 0 se |x|<1 ):}, x in [-2,2] $

Quindi casomai la funzione è questa.

"CallistoBello":$a_h = -2/(kpi) sin(kpi/2)=-2/(kpi) (1)^k =-2/(kpi) $
Quindi per $k \to +\infty $ va a $0$ come $1/k$ , cioè è un $o(1/k)$ ?

No. A parte che un $a_h $ è diventato funzione di $k $, ma non è certo questo il problema principale... Innanzitutto non è vero che $sin(k \pi/2 ) = (1)^k $: se $k = 1 $ si ha $1$, ma se $k = 2$? E se $k = 3$? Hai detto che $T = 4 $, quindi $ T/2 = 2 $. Mi fai vedere come calcoli i coefficienti $a_k $?

[CallistoBello]

"pilloeffe":Mi fai vedere come calcoli i coefficienti ak?

$a_k=2/T int_(-T/2)^(T/2) f(x)cos(wkx) dx $ , con $w=(2pi)/T$
che è l'integrale su un intervallo simmetrico rispetto all'origine di una funzione pari
quindi si può riscrivere come : 2 volte l'integrale sul semi-intervallo
$a_k= 4/T int_0^(T/2) f(x) cos(wkx) dx $
Nel nostro caso: $w=2pi/4=pi/2$
$a_k=4/4 int_0^(4/2) f(x) cos((kpix)/2) dx= int_0^2 f(x) cos(kpix/2) dx=$
per decomposizione in somma
$=int_0^1 f(x) cos((kpix)/2) dx + int_1^2 f(x)cos((kpix)/2) dx=
=2/(kpi) int_1^2 (kpi)/2 cos((kpix)/2)dx
=[2/(kpi) sin((kpix)/2)]_[1,2]
=2/(kpi) [sin(kpi)-sin((kpi)/2)]=- 2/(kpi) sin(kpi/2) $

"pilloeffe":
No. A parte che un ah è diventato funzione di k, ma non è certo questo il problema principale... Innanzitutto non è vero che sin(kπ2)=(1)k: se k=1 si ha 1, ma se k=2? E se k=3?

Mi scrivo i primi termini della successione dei seni :
${sin(kpi/2)}_(kinN)={1,0,-1,0,...}$
quindi siamo nel caso di : una successione infinitesima $1/k$ che moltiplica una successione limitata $sin(kpi/2)$.
Per $k->+oo $ abbiamo che quella successione tende a 0 come $1/k$

[Mephlip]

"CallistoBello":
Per $k->+oo $ abbiamo che quella successione tende a 0 come $1/k$

No. Qual è la definizione di $\text{o}$-piccolo?

[CallistoBello]

"Mephlip":[quote="CallistoBello"]
Per $ k->+oo $ abbiamo che quella successione tende a 0 come $ 1/k $

No. Qual è la definizione di $ \text{o} $-piccolo?[/quote]

<< Date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ , definite in un intorno di x_0, si dice che:
$f(x)=o(g(x))$ per $x->x_0$ (che si legge "$f(x)$ è o-piccolo di $g(x)$")
Se $f(x)/g(x)-->0$ per $x-->x_0$ >>

In particolare, se $g(x)$ è infinitesima , dire che $f(x)=o(g(x))$ significa dire che "$f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g(x)$"

[Mephlip]

Diciamo che per usare questa definizione, dato che si divide per $g$, devi anche assumere $g$ non nulla in un intorno bucato di $x_0$.

Comunque, è soddisfatta nel tuo caso?

[CallistoBello]

"Mephlip":Diciamo che per usare questa definizione, dato che si divide per $g$, devi anche assumere $g$ non nulla in un intorno bucato di $x_0$.

Comunque, è soddisfatta nel tuo caso?

Nel nostro caso dobbiamo avere che : $a_k/b_k->0$ per $k->+oo $ ,
con $a_k= 1/k sin((kpi)/2)$ e $b_k=1/k$

$a_k/b_k= k/k sin(kpi/2)=sin(kpi/2)$ che è una successione irregolare , quindi non ammette limite.

Quindi l'unica possibilità è la successione costante $b_k=1$ ?
In modo tale che:
$a_k/b_k->0$
Ottenendo così che:
$a_k=o(1)$ ?

[Mephlip]

Sì, $a_k/b_k$ è irregolare.

"CallistoBello":
Quindi l'unica possibilità è la successione costante $b_k=1$ ?
In modo tale che:
$a_k/b_k->0$
Ottenendo così che:
$a_k=o(1)$ ?

Questo è vero, ma già sai che $a_k$ è infinitesima (ossia, è $\text{o}(1)$); ciò non ti dice nulla sulla "velocità" con cui va a $0$, e certamente non è l'unica possibilità. C'è da dire che la richiesta (2) è, secondo me, formulata male. Hai correttamente notato che, confrontando $a_k$ con $b_k=1/k$ si ottiene un limite che non esiste. Tuttavia, che succede se si considera per ogni $s>1$ la successione $b_(k,s)=1/k^s$?

[CallistoBello]

La successione $b_k= 1/k^s$ , con $s>1$ è ancora una volta una successione infinitesima

$a_k/b_k= 1/ksin(kpi/2)*k^s= k^(s-1)sin(kpi/2)$ che è una successione che diverge positivamente, perché è il prodotto di una successione di potenze di esponente maggiore uguali di 1 , che moltiplica una successione limitata.

Questo mi sta a suggerire che: $a_k=1/k sin(kpi/2)$ non può essere un infinitesimo di ordine superiore ad $1/k^s$ con $s>=1$ ?

E quindi per esclusione , l'unica possibilità è che $a_k$ sia un o-piccolo di $1/k^0$ ?

[Mephlip]

Scusami, ho sbagliato: volevo scrivere $0

"CallistoBello":La successione $ b_k= 1/k^s $ , con $ s>1 $ è ancora una volta una successione infinitesima

$ a_k/b_k= 1/ksin(kpi/2)*k^s= k^(s-1)sin(kpi/2) $ che è una successione che diverge positivamente, perché è il prodotto di una successione di potenze di esponente maggiore uguali di 1 , che moltiplica una successione limitata.

Intendevi: "Con esponente maggiore strettamente di $0$". Comunque, per $s>1$ la successione $k^{s-1} \sin \left(k \pi/2\right)$ non diverge, ma è irregolare anch'essa: sui pari è costantemente $0$, mentre sui dispari tende a $+\infty$ o $-\infty$ a seconda del dispari.

[CallistoBello]

"Mephlip":Scusami, ho sbagliato: volevo scrivere 0

Ah ok, perché in tal caso avrei che: i termini di questa successione $k^(s-1)$ sono potenze di esponente negativo . Quindi $a_k/(1/k^s)$ è il prodotto di una successione infinitesima $k^(s-1)$ per una successione limitata, dunque è infinitesima.

Col risultato che : $a_k=o(1/k^s)$ con $s in (0,1)$

"Mephlip":Intendevi: "Con esponente maggiore strettamente di 0".

Si, cambia la concavità , ma anche le potenze di esponente reale positivo minore di 1 , divergono per $x->oo $

"Mephlip":Comunque, per s>1 la successione ks−1sin(kπ2) non diverge, ma è irregolare anch'essa: sui pari è costantemente 0, mentre sui dispari tende a +∞ o −∞ a seconda del dispari.

Ok , nel caso di una $a_k$ prodotto di una successione che diverge e di una successione irregolare limitata , l'unica cosa che posso fare è verificare l'irregolarità della successione identificando due estratte con limite diverso.


Problema: proseguendo con gli esercizi , ho notato che in realtà mi si chiede:

1) in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla "rapidità di convergenza a zero" dei coefficienti di fourier per questa funzione?
2)Calcolare esplicitamente i coefficienti di fourier di f , tenendo conto del periodo di f
e verificare che rispettano la previsione fatta la punto precedente.

Quindi suppongo che:
per la richiesta 2) vada bene il discorso fatto fin ora.
Tuttavia , per la richiesta 1) sono obbligato ad utilizzare la proprietà che ho indicato al punto 2) in prima pagina.
<< Sia f una funzione T-periodica, SE per un certo intero s≥1 si ha che:
1. f∈Cs−1(R)
2. f è regolare a tratti in [0,T]
abbiamo che:
ak=o(1ks) , bk=o(1ks) >>

Proprietà che tiene conto della classe c della periodizzata.
In questo esempio però la periodizzata presenta delle discontinuità di salto, quindi non è nemmeno $C^0(R)$.

Domanda:
Stante questa proprietà, come faccio ad arrivare alla stessa conclusione: $a_k=o(1/k^s)$ con $s in (0,1)$ ?