Studio della convergenza di una serie

[Sirio1988]

Salve a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto per un esercizio svolto dal mio prof. che non ho pienamente compreso.

Studiare la convergenza della serie

$sum_{n=0}^{+oo} (sin (n!))/(n^2+2)(x-1)^n$

La serie data è una serie di potenze di centro 1

A questo punto c'è il passaggio che non capisco.

Se $x=2$ la serie diventa $sum_{n=0}^{+oo} (sin (n!))/(n^2+2)$. Siccome $(sin (n!))/(n^2+2)<1/(n^2)$ allora $rho>=1$

Se $x>2$ la serie non converge in quanto $maxlim_(n rarr oo)(sin (n!))/(n^2+2)(x-1)$ non è 0. Quindi $rho=1$

...

[Nomadje]

Il tuo professore ha fatto un'analisi a tentativi, trovando (avrà avuto fortuna?) il punto che sta sulla frontiera dell'insieme di convergenza.

Se $x=2$ converge, quindi sicuramente converge per tutti gli $x\in [0,2]$. Se $x>2$ non converge, quindi sicuramente per ogni $x\in (2,+\infty]$ la serie non può convergere.
Il mio dubbio nasce nel momento in cui consideri una serie a termini di segno alterno, non sono sicurissimo che per $x<0$ la serie non converga... Anzi, sono quasi sicuro che se $x=-1$ la serie converge.

E' un po' più chiaro ora?