Studio della convergenza di una serie
Salve a tutti, non riesco a studiare la convergenza di questa serie, come posso fare? Alfa è reale e maggiore di zero.
Grazie in anticipo.
$ sum_(n = 1)^(+oo ) (ln(n+1)-ln(n))/((1+n)^alpha) (alpha >0) $
Grazie in anticipo.
$ sum_(n = 1)^(+oo ) (ln(n+1)-ln(n))/((1+n)^alpha) (alpha >0) $
Risposte
ciao provo a risponderti ma io e le serie non andiamo molto d'accordo quindi potrebbe essere sbagliata la risoluzione! Allora studio il termine generale della serie:
innanzitutto raccolgo le n all'interno del logaritmo e della base della potenza ottenendo così:
$ (log n + log(1+1/n)-log n)/(n^alpha (1+1/n)^alpha) $
$ log n - log n $ si semplificano e ciò che rimane è asintotico a $ 1/n 1/n^alpha alpha 1/n $ che è uguale a
$ alpha/(n^(alpha+2)) $ che converge se e solo se $ alpha+2>1 $ !
io ho provato a risolverla così ma aspetta pareri più esperti del mio!
innanzitutto raccolgo le n all'interno del logaritmo e della base della potenza ottenendo così:
$ (log n + log(1+1/n)-log n)/(n^alpha (1+1/n)^alpha) $
$ log n - log n $ si semplificano e ciò che rimane è asintotico a $ 1/n 1/n^alpha alpha 1/n $ che è uguale a
$ alpha/(n^(alpha+2)) $ che converge se e solo se $ alpha+2>1 $ !
io ho provato a risolverla così ma aspetta pareri più esperti del mio!
Osservando che
\[\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)= \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{n},\quad n\to+\infty,\]
sei ridotto a considerare la serie di termine generale
\[\frac{1}{n(1+n)^{\alpha}}\sim\frac{1}{n^{\alpha+1}}\]
\[\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)= \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{n},\quad n\to+\infty,\]
sei ridotto a considerare la serie di termine generale
\[\frac{1}{n(1+n)^{\alpha}}\sim\frac{1}{n^{\alpha+1}}\]
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