Studio della convergenza di un integrale improprio
Ciao a tutti, un esercizio mi chiede di studiare la convergenza di un integrale improprio.
L'integrale è il seguente:
$ int_(0)^(1) (x^(3) + o(x^(3))) / x^(7/2) dx $
a questo punto io ho pensato di dover calcolare il limite in questo modo
$ lim_(x -> 0) (x^(3) + o(x^(3))) / x^(7/2) $
..e qua non riesco piu ad andare avanti, ho provato ad usare de l'Hôpital ma con scarsi risultati. Ho pensato anche di semplificare, ma non sò cosa sia meglio tra il togliere di mezzo $ x^3 $ oppure $ x^(7/2) $
La risoluzione è sicuramente banale, ma non riesco ugualmente ad uscirne..portreste aiutarmi?
ps: per studiare la convergenza dell'integrale è giusto procedere in questo modo, vero? Mi stanno assalendo tutti i dubbi del mondo in questo momento!
Grazie.
L'integrale è il seguente:
$ int_(0)^(1) (x^(3) + o(x^(3))) / x^(7/2) dx $
a questo punto io ho pensato di dover calcolare il limite in questo modo
$ lim_(x -> 0) (x^(3) + o(x^(3))) / x^(7/2) $
..e qua non riesco piu ad andare avanti, ho provato ad usare de l'Hôpital ma con scarsi risultati. Ho pensato anche di semplificare, ma non sò cosa sia meglio tra il togliere di mezzo $ x^3 $ oppure $ x^(7/2) $
La risoluzione è sicuramente banale, ma non riesco ugualmente ad uscirne..portreste aiutarmi?
ps: per studiare la convergenza dell'integrale è giusto procedere in questo modo, vero? Mi stanno assalendo tutti i dubbi del mondo in questo momento!
Grazie.
Risposte
Ciao.
Io ragionerei in questo modo:
per vedere se l'integrale converge (in zero, nel nostro caso), bisogna provare che la funzione integranda vada all'infinito per $x->0$ come $1/x^alpha$ con $alpha<1$.
Proviamo quindi questo punto:
$lim_(x -> 0) (x^3)/ (x^(7/2))+ (o(x^3))/(x^(7/2))$
Ora notiamo che il primo termine si semplifica come $1/x^(1/2)$ mentre il secondo addendo produrrà una funzione del tipo $1/x^beta$ con $beta<1/2$ (da notare che $o(x^3)$ un infinitesimo di ordine superiore a 3).
Quindi, essendo la somma di due funzioni integrabili, integrabile (scusa il gioco di parole) possiamo dire che l'integrale converge.
Io ragionerei in questo modo:
per vedere se l'integrale converge (in zero, nel nostro caso), bisogna provare che la funzione integranda vada all'infinito per $x->0$ come $1/x^alpha$ con $alpha<1$.
Proviamo quindi questo punto:
$lim_(x -> 0) (x^3)/ (x^(7/2))+ (o(x^3))/(x^(7/2))$
Ora notiamo che il primo termine si semplifica come $1/x^(1/2)$ mentre il secondo addendo produrrà una funzione del tipo $1/x^beta$ con $beta<1/2$ (da notare che $o(x^3)$ un infinitesimo di ordine superiore a 3).
Quindi, essendo la somma di due funzioni integrabili, integrabile (scusa il gioco di parole) possiamo dire che l'integrale converge.
Innanzitutto grazie per la risposta, mi sto chiarendo un pochino le idee. Non ho solo ben capito come mai dev'essere $alfa<1$
Inoltre, questa è una regola generale per studiare la convergenza oppure si applica solo a questo tipo di funzione $(x^n/x^m)$ ?
Inoltre, questa è una regola generale per studiare la convergenza oppure si applica solo a questo tipo di funzione $(x^n/x^m)$ ?
Basta osservare che:
$lim_(epsilon->0 ) int_(epsilon)^K 1/(x^alpha) dx = lim_(epsilon->0) \text{ Costante} + (epsilon^(1-alpha)) / (1-alpha)$,
con $K in RR$
Se $alpha<1$ allora il limite è finito, contrariamente diverge.
Comunque si...può essere considerata una regola generale. Cioè le funzioni che per $x->0$ vanno all'infinito meno velocemente di $1/x$ sono integrabili in senso improrpio nell'origine.
$lim_(epsilon->0 ) int_(epsilon)^K 1/(x^alpha) dx = lim_(epsilon->0) \text{ Costante} + (epsilon^(1-alpha)) / (1-alpha)$,
con $K in RR$
Se $alpha<1$ allora il limite è finito, contrariamente diverge.
Comunque si...può essere considerata una regola generale. Cioè le funzioni che per $x->0$ vanno all'infinito meno velocemente di $1/x$ sono integrabili in senso improrpio nell'origine.
capito!
Grazie mille!
Grazie mille!
Ho aggiunto una piccola cosetta...
Perfetto direi! 
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