Studio della convergenza di un integrale

[GOPRO HERO4]

Ciao ho difficoltà a studiare la convergenza al variare di un parametro $ a $; l'integrale è:
$ int_(0)^(1) (sin(sqrt(1-x))^(1/2+a))/(x^(a+1)(1+x)^(3/2+a)) dx $
Vedo che entrambi gli estremi comportano "problemi", quindi la convergenza va studiata per entrambi.
Il problema principale è capire (sia per x->0 e sia per x->1) a cosa è asintotica la funzione..
Ad esempio per $ x->1^- $ come faccio a capire a cosa è asintotica la funzione? riuscite a darmi qualche consiglio per farmelo capire?
Grazie a tutti

[Sk_Anonymous]

Credo ti basti osservare che \[\lim_{x \to 1^{-}} \left[ \frac{\sin(\sqrt{1-x})}{\sqrt{1-x}} \right]^{1/2 + a} = 1. \]Pertanto, in un intorno sinistro di \(1\) la tua integranda si comporta come la funzione \[g(x)=\frac{ (1-x)^{1/4 + a/2}}{x^{a+1} (1+x)^{3/2 + a}} \]...

[GOPRO HERO4]

Hai ragione, bisognava utilizzare il limite notevole del seno. Ora porto tutto a denominatore e cerco di raccogliere qualcosa giusto?

[Sk_Anonymous]

"GOPRO HERO4":Hai ragione, bisognava utilizzare il limite notevole del seno. Ora porto tutto a denominatore e cerco di raccogliere qualcosa giusto?

Bah no, il denominatore non produce singolarità - infatti \( \lim_{x \to 1^{-}} x^{a + 1} (x+1)^{3/2 +a} \ne 0 \) per ogni \(a \in \mathbb{R}\). Al contrario \( \lim_{x \to 1^{-}} (1-x) = 0 \), e per alcuni valori di \(a\) questo rappresenterà un problema...

[GOPRO HERO4]

Ho capito. Grazie mille per il tuo aiuto