Studio della convergenza assoluta di una serie.
Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto con lo studio della convergenza assoluta (oltre che della convergenza semplice) di una serie.
[tex]\sum \cos(2^{\ln(\sqrt{n})})\frac{1-n}{n^4+6}[/tex]
Ho provato a studiare il valore del cos per verificare dove questo è positivo e dov'è negativo, ma senza alcun risultato utile. Spero vivamente che qualcuno possa aiutarmi almeno a capire come impostare correttamente quest'esercizio.. Grazie in anticipo
[tex]\sum \cos(2^{\ln(\sqrt{n})})\frac{1-n}{n^4+6}[/tex]
Ho provato a studiare il valore del cos per verificare dove questo è positivo e dov'è negativo, ma senza alcun risultato utile. Spero vivamente che qualcuno possa aiutarmi almeno a capire come impostare correttamente quest'esercizio.. Grazie in anticipo
Risposte
Studiare il segno del coseno non ti porterà a niente. Ciò che ti serve, come hai intuito, è studiare la convergenza assoluta della serie:
\[ \sum_{n= 1}^{+ \infty} \left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \cdot \frac{1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
Notiamo subito che
\[ \left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \cdot \frac{1 - n}{n^4 + 6} \right | \leq \left | \frac {1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
poichè [tex]\left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \right | \leq 1[/tex]. Ora, abbiamo che la serie
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \left | \frac {1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
è convergente per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica di grado 3. Infatti:
\[ \lim_{n \to + \infty} {\frac{\left | \frac {1 - n}{n^4 + 6} \right |}{\frac{1}{n^3}}} = \lim_{n \to + \infty} {\frac{\left | \frac {n \left (\frac{1}{n} - 1 \right )}{n^4 \left(1 +\frac{ 6}{n^4} \right )} \right |}{\frac{1}{n^3}}} = 1 \]
Quindi, per il criterio del confronto, dal momento che la serie
\[ \sum_{n= 1}^{+ \infty} \left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \cdot \frac{1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
è maggiorata dalla serie convergente
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \left | \frac {1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
è anch'essa convergente. In particolare, la serie
\[ \sum_{n= 1}^{+ \infty} \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \cdot \frac{1 - n}{n^4 + 6} \]
converge assolutamente e quindi anche semplicemente.
\[ \sum_{n= 1}^{+ \infty} \left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \cdot \frac{1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
Notiamo subito che
\[ \left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \cdot \frac{1 - n}{n^4 + 6} \right | \leq \left | \frac {1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
poichè [tex]\left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \right | \leq 1[/tex]. Ora, abbiamo che la serie
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \left | \frac {1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
è convergente per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica di grado 3. Infatti:
\[ \lim_{n \to + \infty} {\frac{\left | \frac {1 - n}{n^4 + 6} \right |}{\frac{1}{n^3}}} = \lim_{n \to + \infty} {\frac{\left | \frac {n \left (\frac{1}{n} - 1 \right )}{n^4 \left(1 +\frac{ 6}{n^4} \right )} \right |}{\frac{1}{n^3}}} = 1 \]
Quindi, per il criterio del confronto, dal momento che la serie
\[ \sum_{n= 1}^{+ \infty} \left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \cdot \frac{1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
è maggiorata dalla serie convergente
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \left | \frac {1 - n}{n^4 + 6} \right | \]
è anch'essa convergente. In particolare, la serie
\[ \sum_{n= 1}^{+ \infty} \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \cdot \frac{1 - n}{n^4 + 6} \]
converge assolutamente e quindi anche semplicemente.
Perfetto! Non avevo considerato che potevo semplicemente maggiorare la serie considerando che [tex]\left | \cos \left (2^{\ln \sqrt{n}} \right ) \right | \leq 1[/tex]. Mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua con quello studio del segno, grazie mille 
la serie converge assolutamente, è agevolmente dimostrabile tramite un semplice confronto fra infiniti cos(2^ln(radn)) assume valori variabili fra 0 e 1 con 0 escluso quindi cos(2^ln(radn)) *((1-n)/(n^4+6)) $=$ ((1-n)/(n^4+6)) $=$ -(1/n^3) che converge....
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