Studio della convergenza assoluta di una serie
Salve a tutti, vorrei porvi una domanda riguardo un esercizio d'esame che mi sono ritrovato a svolgere e che mi ha lasciato alcuni dubbi.
Si trattava dello studio della convergenza assoluta della serie in base ad un parametro x, e bisognava poi specificare per quali x la serie convergeva solo semplicemente.
La serie è questa
$ sum (n^2-1 )/(n^2+1)x^n $
La domanda era appunto di studiarne la convergenza assoluta e di specificare per quali x la serie convergeva solo semplicemente.
Io ho proceduto in questa maniera:
Ho iniziato ponendo la x^n dentro il modulo per partire con lo studio della convergenza assoluta, e qui ho iniziato bene.
$ sum (n^2-1)/(n^2+1) |x^n| $
Nel proseguire però mi è stato detto di aver sbagliato.
Io ho usato il criterio del rapporto
ottenendo: $ lim [(n+1)^2-1]/(n^2-1)(n^2 +1)/[(n+1)^2+1] x^(n+1)/x^n $
-> $ lim n^4/n^4 (1+2/n+1/n^2+2/n^3)/(1+2/n+1/n^2-2/n^3-2/n^4) x $
ottenendo quindi che il limite per n->infinito della successione era uguale a 1*x
Quindi che la serie convergeva semplicemente per 0
Vi ringrazio dell'aiuto, in quanto non riesco a comprendere il modo in cui avrei dovuto procedere.
Avrei forse dovuto procedere poi con lo studio di due serie diverse, una per x>0 senza il modulo e una per x<0 con il modulo, ed una ancora con x=0 ?
Si trattava dello studio della convergenza assoluta della serie in base ad un parametro x, e bisognava poi specificare per quali x la serie convergeva solo semplicemente.
La serie è questa
$ sum (n^2-1 )/(n^2+1)x^n $
La domanda era appunto di studiarne la convergenza assoluta e di specificare per quali x la serie convergeva solo semplicemente.
Io ho proceduto in questa maniera:
Ho iniziato ponendo la x^n dentro il modulo per partire con lo studio della convergenza assoluta, e qui ho iniziato bene.
$ sum (n^2-1)/(n^2+1) |x^n| $
Nel proseguire però mi è stato detto di aver sbagliato.
Io ho usato il criterio del rapporto
ottenendo: $ lim [(n+1)^2-1]/(n^2-1)(n^2 +1)/[(n+1)^2+1] x^(n+1)/x^n $
-> $ lim n^4/n^4 (1+2/n+1/n^2+2/n^3)/(1+2/n+1/n^2-2/n^3-2/n^4) x $
ottenendo quindi che il limite per n->infinito della successione era uguale a 1*x
Quindi che la serie convergeva semplicemente per 0
Vi ringrazio dell'aiuto, in quanto non riesco a comprendere il modo in cui avrei dovuto procedere.
Avrei forse dovuto procedere poi con lo studio di due serie diverse, una per x>0 senza il modulo e una per x<0 con il modulo, ed una ancora con x=0 ?
Risposte
Avrei forse dovuto intanto vedere il limite della successione per n->infinito
$ lim (n^2-1)/(n^2+1) |x^n|
= oo /oo |x^oo| =|x^oo| $
=0 per x<|1|
Quindi intanto potevo dire che la serie non converge per x >= 1 (non riesco ad usare i simboli latex ho provato a scrivere \geq per il maggiore o uguale ma non va)
Il problema è comunque nello studio della convergenza assoluta, non capisco ancora come avrei dovuto procedere.
$ lim (n^2-1)/(n^2+1) |x^n|
= oo /oo |x^oo| =|x^oo| $
=0 per x<|1|
Quindi intanto potevo dire che la serie non converge per x >= 1 (non riesco ad usare i simboli latex ho provato a scrivere \geq per il maggiore o uguale ma non va)
Il problema è comunque nello studio della convergenza assoluta, non capisco ancora come avrei dovuto procedere.
C'è poco da dire infatti quella serie può facilmente essere confrontata con la serie geometrica, basta vedere che $0<\frac{n^2-1}{n^2+1}|x|^n<|x|^n\ \forall n \in NN$
Mmm si infatti.
Quindi, la serie converge assolutamente per x<|1| é indeterminata per x<=1 ed è divergente per x>=1
E allora, dove converge semplicemente?
Quindi, la serie converge assolutamente per x<|1| é indeterminata per x<=1 ed è divergente per x>=1
E allora, dove converge semplicemente?
Ciao, per lo studio della convergenza di una serie di potenze bisogna tenere conto dei seguenti fatti:
Sia $ \sum a_{n} (x-x_0)^n $ una serie di potenze. $\rho$ viene detto raggio di convergenza e si ha che:
$ \frac{1}{\rho} = \lim_{n to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}} $
$ \frac{1}{\rho} = \lim_{n to \infty} (a_{n})^{\frac{1}{n}} $
$ \frac{1}{\rho} = \overline{\lim}_{n to \infty} (a_{n})^{\frac{1}{n}} $
Le tre formule sono equivalenti; le prime due possono cadere in difetto (cioè il limite potrebbe non esistere) mentre la terza è infallibile perché il sup della classe limite esiste sempre.
Ora per la convergenza della serie abbiamo che:
. Se $\rho=0$ converge solo in $x_0$
Con $\rho \ne 0$:
. Converge assolutamente per $\abs{x-x_0}<\rho$
. Non converge per $\abs{x-x_0}>\rho$
Per $\abs{x-x_0}=\rho$ si controlla "a mano" cosa succede.
Quella serie converge assolutamente (e quindi anche semplicemente) per $\abs{x}<1$. Per il resto non converge.
Edit: non avevo visto gli altri messaggi mentre stendevo sto papiro
....be' quello è comunque il procedimento generale
Sia $ \sum a_{n} (x-x_0)^n $ una serie di potenze. $\rho$ viene detto raggio di convergenza e si ha che:
$ \frac{1}{\rho} = \lim_{n to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}} $
$ \frac{1}{\rho} = \lim_{n to \infty} (a_{n})^{\frac{1}{n}} $
$ \frac{1}{\rho} = \overline{\lim}_{n to \infty} (a_{n})^{\frac{1}{n}} $
Le tre formule sono equivalenti; le prime due possono cadere in difetto (cioè il limite potrebbe non esistere) mentre la terza è infallibile perché il sup della classe limite esiste sempre.
Ora per la convergenza della serie abbiamo che:
. Se $\rho=0$ converge solo in $x_0$
Con $\rho \ne 0$:
. Converge assolutamente per $\abs{x-x_0}<\rho$
. Non converge per $\abs{x-x_0}>\rho$
Per $\abs{x-x_0}=\rho$ si controlla "a mano" cosa succede.
Quella serie converge assolutamente (e quindi anche semplicemente) per $\abs{x}<1$. Per il resto non converge.
Edit: non avevo visto gli altri messaggi mentre stendevo sto papiro
....be' quello è comunque il procedimento generale
Vi ringrazio dell'aiuto. Devo ammettere di non avere le idee molto chiare, e le vostre risposte mi saranno utili per indirizzare lo studio 
Quindi dico bene se affermo che la serie non converge semplicemente ma solo assolutamente per |x|<1 , giusto?
EDIT: Ho letto ora il tuo edit
Scusa, ma allora non dovrei dire che converge assolutamente per |x|<1 e converge anche semplicemente per 0
Edit2: Ok, ho riletto alcune cose e adesso penso di aver capito.
Se la serie dei moduli converge assolutamente, allora la serie converge anche semplicemente. E dato che non vi sono valori per cui la serie converge ma non converge assolutamente, la risposta alla domanda sull'esistenza o meno di valori di x per la quale essa converge SOLO semplicemente è negativa.
Quindi dico bene se affermo che la serie non converge semplicemente ma solo assolutamente per |x|<1 , giusto?
EDIT: Ho letto ora il tuo edit
Scusa, ma allora non dovrei dire che converge assolutamente per |x|<1 e converge anche semplicemente per 0Edit2: Ok, ho riletto alcune cose e adesso penso di aver capito.
Se la serie dei moduli converge assolutamente, allora la serie converge anche semplicemente. E dato che non vi sono valori per cui la serie converge ma non converge assolutamente, la risposta alla domanda sull'esistenza o meno di valori di x per la quale essa converge SOLO semplicemente è negativa.
Se una serie converge assolutamente allora converge anche semplicemente. E' falso il contrario in generale.
Esempio:
$\sum \frac{(-1)^n}{n} $ converge semplicemente ma non assolutamente (vedi criterio di Leibniz e serie armonica).
Per quanto riguarda la tua serie:
Quando $\abs{x}<\rho$ ovvero $-1e semplicemente.
Quando $\abs{x}>\rho$ ovvero $x<-1 \vee x>1$ non converge né semplicemente né assolutamente.
Per $x=\rho = 1 $ hai $\sum \frac{n^2-1}{n^2+1} $ che non converge perché $\lim_{n \to \infty} a_{n} =1 \ne 0$.
Per $x=-\rho=-1 $ hai $\sum (-1)^n \frac{n^2-1}{n^2+1} $ che non converge per lo stesso motivo.
Esempio:
$\sum \frac{(-1)^n}{n} $ converge semplicemente ma non assolutamente (vedi criterio di Leibniz e serie armonica).
Per quanto riguarda la tua serie:
Quando $\abs{x}<\rho$ ovvero $-1
Quando $\abs{x}>\rho$ ovvero $x<-1 \vee x>1$ non converge né semplicemente né assolutamente.
Per $x=\rho = 1 $ hai $\sum \frac{n^2-1}{n^2+1} $ che non converge perché $\lim_{n \to \infty} a_{n} =1 \ne 0$.
Per $x=-\rho=-1 $ hai $\sum (-1)^n \frac{n^2-1}{n^2+1} $ che non converge per lo stesso motivo.
Grazie mille per l'aiuto
Buonanotte
Buonanotte
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