Studio del segno o sistema?
Ciao 
Oggi ho sbagliato un esercizio dell'esame di analisi sul calcolo degli
asintoti per colpa di un dominio -.-' La funzione era la seguente:
$\sqrt{\frac{x^{3} +4x^{2}}{4x+1}} + \frac{\sin ( \ln ( 3x^{2} +1 )
)}{e^{x^{2}} -1}$ Ho quindi posto $\sqrt{\frac{x^{3} +4x^{2}}{4x+1}} \geq 0$
ottenendo così x$\geq 0$ e x$\geq -4$ al numeratore e x $> -\frac{1}{4}$
al denominatore. Ho poi studiato il segno di queste tre condizioni concludendo
$-4 \leq x< - \frac{1}{4}$ o $x \geq 0$. Ho messo a sistema queste ultime
condizioni con $x \ne 0 $ del denominatore del secondo addendo della funzione
ottenendo il dominio: $-4 \leq x< - \frac{1}{4} $o $x>0$ che però è
sbagliato. Il mio problema è che non ho capito quando mettere a sistema e
quando fare lo studio del segno. E poi, quando si fa il sistema certe volte si
prendono le soluzioni comuni, altre volte tutti gli intervalli dove la
funzione è definita. Mi spiegate anche questa cosa? Grazie mille per
l'aiuto
Oggi ho sbagliato un esercizio dell'esame di analisi sul calcolo degliasintoti per colpa di un dominio -.-' La funzione era la seguente:
$\sqrt{\frac{x^{3} +4x^{2}}{4x+1}} + \frac{\sin ( \ln ( 3x^{2} +1 )
)}{e^{x^{2}} -1}$ Ho quindi posto $\sqrt{\frac{x^{3} +4x^{2}}{4x+1}} \geq 0$
ottenendo così x$\geq 0$ e x$\geq -4$ al numeratore e x $> -\frac{1}{4}$
al denominatore. Ho poi studiato il segno di queste tre condizioni concludendo
$-4 \leq x< - \frac{1}{4}$ o $x \geq 0$. Ho messo a sistema queste ultime
condizioni con $x \ne 0 $ del denominatore del secondo addendo della funzione
ottenendo il dominio: $-4 \leq x< - \frac{1}{4} $o $x>0$ che però è
sbagliato. Il mio problema è che non ho capito quando mettere a sistema e
quando fare lo studio del segno. E poi, quando si fa il sistema certe volte si
prendono le soluzioni comuni, altre volte tutti gli intervalli dove la
funzione è definita. Mi spiegate anche questa cosa? Grazie mille per
l'aiuto
Risposte
Lascia perdere gli schemi e cerca di pensare criticamente al problema. Guardiamo il primo pezzo. Quando l'argomento della radice è \(\geq 0\)? Quando contemporaneamente numeratore e denominatore sono \(\geq 0\) oppure \(\leq 0\).
Consideriamo il primo caso: \(x^{3}+4x^{2}=x^{2}(x+4)\geq 0\) Quando accade? Se \(x^{2}\geq 0\) e \(x+4\geq 0\) oppure \(x^{2}<0\) e \(x+4< 0\). \(x^{2}<0\) ha senso quindi rimane il primo. \(x^{2}\geq 0\) sempre (quindi vale per ogni reale). La condizione che ricavo quindi è \(x\geq -4\). Da \(4x+1\geq 0\) ottengo \(x\geq -1/4\) che diventa la cond. finale.
Considera il secondo caso: sia numeratore che denominatore \(\leq 0\). Ottieni con un ragionamento identico al precedente la cond. finale del secondo caso \(x\leq -4\). Aggiungendo la cond. del denominatore (\(\neq 0\)) sistemo anche la condizione del primo caso: \(x>-1/4\). Quest'ultima assieme a \(x\leq -4\) da la cond. definiva.
Significa che sia nel caso che \(x>-1/4\) o \(x\leq -4\) quella radice ha senso, hai uno OR quindi unisci i domini. Quando invece nel primo caso ad esempio avevamo sia \(x\geq -4\) che \(x\geq -1/4\), dovendo le cond. valere contemporaneamente a num. e den. vale l'AND e si prendono le \(x\) comuni: prevale \(x\geq -1/4\). link
Consideriamo il primo caso: \(x^{3}+4x^{2}=x^{2}(x+4)\geq 0\) Quando accade? Se \(x^{2}\geq 0\) e \(x+4\geq 0\) oppure \(x^{2}<0\) e \(x+4< 0\). \(x^{2}<0\) ha senso quindi rimane il primo. \(x^{2}\geq 0\) sempre (quindi vale per ogni reale). La condizione che ricavo quindi è \(x\geq -4\). Da \(4x+1\geq 0\) ottengo \(x\geq -1/4\) che diventa la cond. finale.
Considera il secondo caso: sia numeratore che denominatore \(\leq 0\). Ottieni con un ragionamento identico al precedente la cond. finale del secondo caso \(x\leq -4\). Aggiungendo la cond. del denominatore (\(\neq 0\)) sistemo anche la condizione del primo caso: \(x>-1/4\). Quest'ultima assieme a \(x\leq -4\) da la cond. definiva.
Significa che sia nel caso che \(x>-1/4\) o \(x\leq -4\) quella radice ha senso, hai uno OR quindi unisci i domini. Quando invece nel primo caso ad esempio avevamo sia \(x\geq -4\) che \(x\geq -1/4\), dovendo le cond. valere contemporaneamente a num. e den. vale l'AND e si prendono le \(x\) comuni: prevale \(x\geq -1/4\). link
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