Studio del segno di una funzione irrazionale

[Marco Beta2]

Buongiorno a tutti, vorrei chiedere un'informazione su un dubbio che ho in merito allo studio del segno delle funzioni irrazionali... Ho la seguente funzione $y=x-root()(x^2 +x)$ e voglio studiarne il segno; devo imporre l'unione dei due sistemi (se si, come? la $x$ all'inizio mi confonde)o risolvere $x>0$ e $ - root()(x*(x+1))>0 <=> x*(x+1)>0$ ?

Grazie

[Brancaleone1]

Prima di tutto, devi verificare dove la funzione esiste - altrimenti rischi di sbagliare la risoluzione. In questo caso, per la radice quadrata:

$x^2+x>=0=>x(x+1)>=0 <=> x<=-1 \cup x>=0$

quindi la funzione esiste negli intervalli $(-oo,-1] \cup [0,+oo)$.

Affinché una funzione sia positiva, tutti i termini insieme devono essere maggiori di zero, cioé

$x-sqrt(x^2+x)>0$

da cui

$x>sqrt(x^2+x)$

A questo punto sai che da una radice quadrata avrai sempre un numero positivo, quindi la funzione non può essere positiva se $x$ è negativa (perché avremmo $text(numero negativo ) > text( numero positivo)$, che non ha senso). Ricordando ciò, puoi elevare al quadrato i due membri ed ottenere:

$x^2>x^2+x$

e quindi

$0>x$

ma abbiamo detto che $x$ non può essere negativa, quindi la soluzione è che non esistono valori di $x$ per cui la funzione possa essere positiva.

[cooper1]

$x-sqrt(x^2+x)>=0 rArr sqrt(x^2+x)<=x hArr { ( x^2+x >=0 ),( x>=0 ),( x^2+x<= x^2):} $
in generale se hai disequazioni con indice n pari e verso minore o minore uguale vale $root(n)(f(x))0 ),( g(x)>0 ),( f(x)<(g(x))^n):} $
edit: mi hanno preceduto

[Marco Beta2]

"Brancaleone":[...]

"cooper":[...]

Grazie mille ad entrambi
Ma nel caso di $0>x$ come si procede con lo studio del segno? Un'unica linee tratteggiata sul mio grafico dei segni?

[Brancaleone1]

"Marco Beta2":
Ma nel caso di $0>x$ come si procede con lo studio del segno? Un'unica linee tratteggiata sul mio grafico dei segni?

Abbiamo visto che la funzione è negativa sia per $x<=-1$ che per $x>0$ (in $x_0=0$ è nulla). Sul tuo grafico dei segni avrai due linee tratteggiate: una che da $x_0=0$ va verso destra, e l'altra che da $x_1=-1$ va verso sinistra.