Studio del segno di una funzione

[mikeleom]

$((x^2+3)/(1+x)-2ln(1+x))/(x^2+3)^2$ come si studia il segno di questa funzione? io farei così partendo da $((x^2+3)/(1+x)$ faccio $x!=-1$ $x^2+3>0$ sempre positiva come il denominatore, mentre passando al logaritmo $-2ln(1+x)>0$
$x<-1$

[Ziben]

Ciao,
la funzione è definita per $x > -1$ quindi il risultato $x<-1$ non ha alcun senso. Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno di quella funzione è dato dal numeratore. Dovrai porre:
$(x^2+3)/(1+x)-2ln(1+x)>0$ e studiare quindi questa disuguaglianza. Io la porrei in questa forma $(x^2+3)/(1+x) > 2ln(1+x)$ dopodiché noto che $(x^2+3)/(1+x)$ è sempre positiva nell'insieme di definizione, mentre $2ln(1+x)=ln(1+x)^2>0$ per $x>0$. Quindi per $-10$ ci sono valori della $x$ per i quali $2ln(1+x)$ è maggiore di $(x^2+3)/(1+x)$, in tal caso il numeratore risulterebbe negativo. $(x^2+3)/(1+x)$ è decrescente per $-1 -1+sqrt(5)$.
$2ln(1+x)$ è sempre crescente nell'insieme di definizione ma ha crescita più lenta di $(x^2+3)/(1+x)$. Quindi eventuali intersezioni tra $(x^2+3)/(1+x)$ e $2ln(1+x)$ si avranno prima che $(x^2+3)/(1+x)$ assuma il suo valore minimo. Per $x=-1+sqrt(5)$ la $(x^2+3)/(1+x)$ vale circa 2,0249 mentre per lo stesso valore di $x$, $2ln(1+x)$ vale circa 1,609 che è inferiore al valore minimo di $(x^2+3)/(1+x)$. Concludo allora che $2ln(1+x)$ non sarà mai maggiore di $(x^2+3)/(1+x)$, quindi il numeratore è sempre positivo così come la funzione di partenza.