Studio del comportamento di una serie a termini positivi

[fresin]

Ho un problema con lo studio del comportamento della seguente serie:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{sqrt{n}log(n^3))$
La soluzione sarebbe osservare che $logn = o(sqrt{n})$ per n che tende a infinito e perciò avere che $sqrt{n}log(n^3)=3sqrt{n}logn=o(n)$.
A questo punto si osserva semplicemente che $ 1/n =o(\frac{1}{sqrt(n)log(n^3)})$ e dato che la serie di 1/n diverge, per il criterio del confronto asintotico anche la serie di partenza diverge.
Ora, riflettendo anche su altri esercizi dove si considerava il logn un o piccolo di altre potenze di n, dove applicando il criterio facevo convergere le serie in questione, mi chiedo perchè in questo caso ho scelto un $o(sqrtn)$ quando scegliendo un $o(n)$ avrei ottenuto la convergenza in quanto avrei avuto una serie armonica del tipo $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$ con $\alpha$ maggiore di 1.
Grazie per le risposte

[Mephlip]

Ciao! Occhio che hai scritto $n+2$ anziché $n=2$ nelle serie. Comunque: non ottieni la convergenza considerando $\text{o}(n)$, perché, in sostanza, tu dimostri che:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n} \log(n^3)}}=0$$
Quindi, essendo tutto non negativo, per $n$ abbastanza grande è $\frac{1}{\sqrt{n}\log(n^3)}>1/n$. Quindi, hai una disuguaglianza dal basso; le disuguaglianze dal basso ti permettono di concludere, eventualmente, solo la divergenza.

Più in generale, se $a_n \ge 0$ e $b_n>0$ definitivamente e $a_n/b_n \to 0$ per $n\to +\infty$, definitivamente è $a_n/b_n<1$ e quindi definitivamente è $a_n

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[pilloeffe]

Ciao fresin,

Per la serie proposta osserverei che $\AA x > 0 $ si ha $log x < x $, sicché ponendo $x := n^\alpha $, per qualsiasi $\alpha > 0 $ si ha:

$log n^{\alpha} < n^\alpha \implies log n < n^\alpha/\alpha $

Quindi scegliendo ad esempio $\alpha = 1/2 > 0 $ si può scrivere:

$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n} log(n^3) } = 1/3 \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n} log(n)} > 2/3 \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n}} = 2/3 \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n} $

Pertanto la serie proposta è maggiore della serie armonica, com'è noto positivamente divergente.

[fresin]

Ciao, anzi tutto grazie mille per la risposta. Credo allora di avere un problema con gli o piccolo. Il mio ragionamento era considerare $logn=o(n)$ e poi proseguire con $1/n=o(1/(logn))$. Dopodiché osservare che $1/(3nsqrtn)=o(1/(3sqrt(n)logn))$ e poiché $1/(3nsqrtn)$ converge concludere che anche la serie iniziale convergeva.

[Mephlip]

Prego! Con gli $\text{o}$-piccolo ci siamo, quello che hai scritto è tutto corretto; quello che non è corretto è come mai da ciò deduci la convergenza. Non è vero che se una prima successione è $\text{o}$-piccolo di una seconda successione allora se la serie corrispondente alla prima converge anche la serie corrispondente alla seconda successione converge. Quest'ultimo esempio che proponi ti mostra la falsità di questo ragionamento. Devi ragionare col confronto asintotico come ti ho mostrato prima. È vero che $\frac{1}{3n\sqrt{n}}$ è $\text{o}\left(\frac{1}{3\sqrt{n}\log n}\right)$, ma da questo deduci che:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{3n\sqrt{n}}}{\frac{1}{3\sqrt{n} \log n}}=0$$
Quindi, definitivamente è $\frac{\frac{1}{3n\sqrt{n}}}{\frac{1}{3\sqrt{n} \log n}}<1$; perciò, definitivamente è $\frac{1}{3\sqrt{n} \log n}>\frac{1}{3n\sqrt{n}}$. Ma $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{3n\sqrt{n}}$ converge, quindi non deduci nulla.

Il problema è sul teorema del confronto asintotico. Il teorema del confronto asintotico ti garantisce che due serie a termini positivi hanno lo stesso comportamento se il limite del rapporto è $1$, non se è $0$. Se è $0$ puoi dedurre solo la divergenza come ti ho mostrato ora. Spero che adesso sia più chiaro!

[fresin]

Si grazie ancora, ora è molto più chiaro. Riguardando come lo aveva enunciato il professore non era così chiaro, diceva che se una successione an è un o piccolo di bn allora se serie di bn è convergente lo è anche serie di an, questo però genera ambiguità se non si riflette sul fatto del rapporto definitivamente minore di 1 e su la disuguaglianza fra le due serie. Quindi sostanzialmente dovrei fare un controllo ogni qualvolta applico il criterio, verificando che si ha che la serie di partenza è o minore di una serie convergente o maggiore di una divergente.

[Mephlip]

Prego! In realtà no, l'enunciato è chiaro: il problema è che nel caso da te proposto non sono verificate le ipotesi perché hai invertito i ruoli di $a_n$ e $b_n$ dell'enunciato. Tu hai dimostrato che $\frac{1}{3n\sqrt{n}}=\text{o}\left(\frac{1}{3\sqrt{n}\log n} \right)$, ma, se rileggi qui:

"fresin":se una successione an è un o piccolo di bn allora se serie di bn è convergente lo è anche serie di an

il tuo enunciato ti permette di concludere la convergenza della serie corrispondente alla successione "non $\text{o}$-piccolo di" a partire dalla convergenza della serie nell'argomento dell'$\text{o}$-piccolo. Tu hai invertito le successioni, sei partito verificando la convergenza della serie al membro di sinistra nell'uguaglianza $\frac{1}{3n\sqrt{n}}=\text{o}\left(\frac{1}{3\sqrt{n}\log n} \right)$. Ma non è questa l'ipotesi del tuo enunciato.

"fresin":Quindi sostanzialmente dovrei fare un controllo ogni qualvolta applico il criterio, verificando che si ha che la serie di partenza è o minore di una serie convergente o maggiore di una divergente.

Questo è corretto. Infatti, ti sconsiglio di usare tutti questi mini-criteri e ti consiglio di assorbire bene la dimostrazione del criterio del confronto asintotico. Una volta che hai capito come funziona (ossia, che usa appunto il fatto che il rapporto sta definitivamente o sotto un certo numero positivo, o tra due numeri positivi o sopra un numero positivo a seconda che il rapporto tenda a $0$, ad un numero reale positivo o a $+\infty$), riesci a dedurre correttamente quello che avviene in ogni caso possibile.

[fresin]

Ok, ora credo di aver capito definitivamente. Grazie ancora per le risposte.

[pilloeffe]

Non so se sei "obbligato" ad usare il criterio del confronto asintotico o no: personalmente, soprattutto per le serie convergenti, tendo a preferire il criterio del confronto in quanto consente di ottenere una limitazione superiore per la serie e, in qualche caso, anche una buona stima della sua somma: potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.