STUDIO DEL COMPORTAMENTO DI SERIE

[floriano94]

Avrei bisogno di un aiuto nel risolvere questo tipo di esercizi! Mi dareste una mano?

consideriamo la successione definita per ricorrenza da :
$ x_(n+1) =x_n^2 / (1+x_n^2) $
$ x_0=2009 $

Dallo studio della successione si evince che essa è decrescente e il suo limite tende a 0.
A questo punto c'è da studiare il comportamento delle seguenti serie:

$ sum_(n = 0)^(oo)a_n$

$ sum_(n = 0)^(oo)root(n)(x_n) $

Per lo studio di tali serie non riesco a capire come trattare $ x_n $ . Devo o meno tener conto dello studio della successione precedente? Posso,in tal caso, dire che per n->00 $ x_n $ ->0?
O altrimenti qual è il ragionameto da seguire?
Ringrazio in anticipo!

[Quinzio]

Per la prima prova il criterio del rapporto

La seconda, boh... onestamente non saprei, però una cosa che si può dire è che dopo un numero "abbastanza" grande di iterazioni la successione si riduce sostanzialmente a $x_{n+1}=x_n^2$. Provare con ad es. $10^{-3}$ per convincersi.
Per cui la successione diventa simile a $x_n=k^{2n}, k<1$.
Da cui si può capire facilmente cosa succede facendo la serie sotto radice n-sima (con un paio di considerazioni banali).
L'esercizio va aggiornato con x=2011, pardon, 2012.

[dissonance]

@floriano: Cambia il titolo eliminando il TUTTO MAIUSCOLO, per favore. Grazie.