Studio del carattere di una serie
la serie in questione è questa
$sum_(n=0)^(+oo)(n+2)/(n^2+n+1)*|x|^n$
io ho pensato di risolverla così..
con x=1
faccio il confronto asintotico con la serie $1/n$ ed ottengo che il limite tende ad 1 giusto quindi divergente?
con x>1
sempre confornto asintotico con la serie $1/n$ e quindi limite uguale a $+oo$ e quindi divergente, giusto?
con 0
applicando il rapporto la serie è convergente perchè il limite tende ad x giusto?
ps:abbiate pietà mi sto esercitando..
$sum_(n=0)^(+oo)(n+2)/(n^2+n+1)*|x|^n$
io ho pensato di risolverla così..
con x=1
faccio il confronto asintotico con la serie $1/n$ ed ottengo che il limite tende ad 1 giusto quindi divergente?
con x>1
sempre confornto asintotico con la serie $1/n$ e quindi limite uguale a $+oo$ e quindi divergente, giusto?
con 0
applicando il rapporto la serie è convergente perchè il limite tende ad x giusto?
ps:abbiate pietà mi sto esercitando..
Risposte
"axl_1986":
con x>1
sempre confornto asintotico con la serie $1/n$ e quindi limite uguale a $+oo$ e quindi divergente, giusto?
No. Il criterio del confronto asintotico permette di concludere quando il limite in questione esiste FINITO (e non nullo).
La questione si risolve (in ogni caso) con il criterio del rapporto... Provare per credere.
quindi sarebbe sbagliata solo quella con x>1? Comunque su wikipedia dice che anche se il limite =+oo..per questo dicevo..
"axl_1986":
quindi sarebbe sbagliata solo quella con x>1? Comunque su wikipedia dice che anche se il limite =+oo..per questo dicevo..
Il criterio del rapporto ti dice che la serie data converge assolutamente quando $x in ]-1,1[$. I casi $x in {1,-1}$ vanno trattati separatamente, perchè in questo caso il criterio non è di alcuna utilità (il limite vale 1). In tutti gli altri casi la serie diverge.
Ti dispiace postare il link?
il link è questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza
ecco cosa c'è scritto nello specifico:
Secondo criterio di confronto o del confronto asintotico [modifica]
Date due serie a termini positivi \sum a_n e \sum b_n
se $\ b_n$ è convergente e $\lim_{n=l} \frac{a_n}{b_n} = l$, dove l, esiste ed è finito, allora $\ a_n$ è convergente;
se$ \ b_n$ è divergente e $\lim_{n=+\infty} \frac{a_n}{b_n} > 0$ (anche $+\infty$), allora $\ a_n$ è divergente
il codice che usano loro dovrebbe essere il LaTex comunque si comprende..
ora ricapitolando per il caso di x=1 ho fatto bene e pure per 01? I casi delle x sono finiti? Tu dici che bisogna fare anche con x=-1? ma non c'è il valore assoluto?
ecco cosa c'è scritto nello specifico:
Secondo criterio di confronto o del confronto asintotico [modifica]
Date due serie a termini positivi \sum a_n e \sum b_n
se $\ b_n$ è convergente e $\lim_{n=l} \frac{a_n}{b_n} = l$, dove l, esiste ed è finito, allora $\ a_n$ è convergente;
se$ \ b_n$ è divergente e $\lim_{n=+\infty} \frac{a_n}{b_n} > 0$ (anche $+\infty$), allora $\ a_n$ è divergente
il codice che usano loro dovrebbe essere il LaTex comunque si comprende..
ora ricapitolando per il caso di x=1 ho fatto bene e pure per 0
"axl_1986":
il codice che usano loro dovrebbe essere il LaTex comunque si comprende..
(scusate l'intromissione) Penso che asciimathml riesca a leggere il codice LaTeX. Prova a mettere il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine dei codici.
"axl_1986":
il link è questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza
Non avevo mai sentito parlare di quest'estensione del teorema del confronto asintotico... Però sembra funzionare:
infatti $lim_(n->+oo) a_n/b_n =+oo$
equivale ad ammettere che:
$AA K in RR$, $EE N_K in NN$ : $a_n/b_n>K$, $AAn>=N_K$
e si conclude per il criterio del confronto, perchè:
$a_n>Kb_n$, $AAn>=N_K$
fondamentale è che le successioni $a_n$ e $b_n$ siano a termini non negativi (la seconda dev'essere definitivamente diversa da zero!).
ok perfetto quindi era corretto lo svolgimento? Non ho capito se e cosa ho sbagliato.. 
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