Studio del carattere di una serie
Salve a tutti ragazzi, non riesco a risolvere questa serie che pare essere semplice. Applicando i metodi che conosco attualmente risultano tutti inconcludenti. La serie è questa (va da 1 ad infinito):
$ sum frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{k} $
Ho provato il metodo del rapporto ma ridà 1 quindi è inconcludente. Utilizzando il metodo del confronto con la serie armonica, risulta essere maggiorante di quella convergente e minorante di quella divergente, e quindi anche qui non posso dire niente. Anche utilizzando il confronto asintotico non ho risolto niente. Cosa mi sfugge?
Grazie per l'aiuto
$ sum frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{k} $
Ho provato il metodo del rapporto ma ridà 1 quindi è inconcludente. Utilizzando il metodo del confronto con la serie armonica, risulta essere maggiorante di quella convergente e minorante di quella divergente, e quindi anche qui non posso dire niente. Anche utilizzando il confronto asintotico non ho risolto niente. Cosa mi sfugge?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Ciao frankego,
La serie converge, infatti si ha:
$sum_{k = 1}^{+\infty} frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{k} = sum_{k = 1}^{+\infty} frac{(\sqrt{k+2} - \sqrt{k})(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} = sum_{k = 1}^{+\infty} frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} < 2 sum_{k = 1}^{+\infty} frac{1}{k^{3/2}$
e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = frac{3}{2}$ che è convergente.
La serie converge, infatti si ha:
$sum_{k = 1}^{+\infty} frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{k} = sum_{k = 1}^{+\infty} frac{(\sqrt{k+2} - \sqrt{k})(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} = sum_{k = 1}^{+\infty} frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} < 2 sum_{k = 1}^{+\infty} frac{1}{k^{3/2}$
e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = frac{3}{2}$ che è convergente.
Grazie mille non avevo pensato a semplificarla così 
Un ultima cosa, come sei giunto da
$ sum_{k = 1}^{+\infty} frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} $
all'armonica generalizzata $ 2 sum_{k = 1}^{+\infty} frac{1}{k^{3/2} $ ??
Un ultima cosa, come sei giunto da
$ sum_{k = 1}^{+\infty} frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} $
all'armonica generalizzata $ 2 sum_{k = 1}^{+\infty} frac{1}{k^{3/2} $ ??
Semplice, eliminando proprio il termine $sqrt{k + 2}$ a denominatore... D'altronde la disequazione
$frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} < frac{2}{k\sqrt{k}} = frac{2}{k^{3/2}}$
è verificata $\AA k \ge 1$.
$frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} < frac{2}{k\sqrt{k}} = frac{2}{k^{3/2}}$
è verificata $\AA k \ge 1$.
Sei il migliore, grazie mille per il tuo tempo!
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