Studio del carattere di una funzione

DCLeonardo22
Salve a tutti qualcuno mi può aiutare sullo studio del carattere della funzione presente nell'integrale ? \(\displaystyle \int _{\frac{1}{4}}^1\:\frac{dx}{\:\sqrt{2-x-\sqrt{x}}} \)

Risposte
anto_zoolander
Ciao :-D

Io farei così:

a occhio si nota che $lim_(x->1)(sqrtx-1)/(x-1)=1/2$

ovvero che $sqrtx$\(\displaystyle \sim \)$1/2(x-1)+1$ per $x->1$

sostituendo $int_(1/4)^(1)dx/sqrt(2-x-[1/2(x-1)+1])$ l'integrale diventa: $sqrt6/3int_(1/4)^(1)dx/sqrt(1-x)$

in particolare ti inviterei a notare che $sqrt6/(3sqrt(1-x))>1/sqrt(2-x-sqrtx), forallx in[1/4,1)$

Quindi si può usare anche il metodo del confronto, che restituisce un valore veramente approssimato in maniera ottima dell'integrale di tuo interesse:

$0
l'integrale di destra restituisce banalmente $sqrt2$ dunque possiamo dire che:

$0
se fai con un calcolatore l'integrale di partenza ti viene $approx1,395$ contro gli $1,414$ dell'altro.

Questo si può notare dal fatto che:

$f(1/4)=0,,894$ e $g(1/4)=0,942$ e che poi 'crescono praticamente assieme'.

DCLeonardo22
Grazie mille

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