Studio del carattere di una funzione
Salve a tutti qualcuno mi può aiutare sullo studio del carattere della funzione presente nell'integrale ? \(\displaystyle \int _{\frac{1}{4}}^1\:\frac{dx}{\:\sqrt{2-x-\sqrt{x}}} \)
Risposte
Ciao
Io farei così:
a occhio si nota che $lim_(x->1)(sqrtx-1)/(x-1)=1/2$
ovvero che $sqrtx$\(\displaystyle \sim \)$1/2(x-1)+1$ per $x->1$
sostituendo $int_(1/4)^(1)dx/sqrt(2-x-[1/2(x-1)+1])$ l'integrale diventa: $sqrt6/3int_(1/4)^(1)dx/sqrt(1-x)$
in particolare ti inviterei a notare che $sqrt6/(3sqrt(1-x))>1/sqrt(2-x-sqrtx), forallx in[1/4,1)$
Quindi si può usare anche il metodo del confronto, che restituisce un valore veramente approssimato in maniera ottima dell'integrale di tuo interesse:
$0
l'integrale di destra restituisce banalmente $sqrt2$ dunque possiamo dire che:
$0
se fai con un calcolatore l'integrale di partenza ti viene $approx1,395$ contro gli $1,414$ dell'altro.
Questo si può notare dal fatto che:
$f(1/4)=0,,894$ e $g(1/4)=0,942$ e che poi 'crescono praticamente assieme'.

Io farei così:
a occhio si nota che $lim_(x->1)(sqrtx-1)/(x-1)=1/2$
ovvero che $sqrtx$\(\displaystyle \sim \)$1/2(x-1)+1$ per $x->1$
sostituendo $int_(1/4)^(1)dx/sqrt(2-x-[1/2(x-1)+1])$ l'integrale diventa: $sqrt6/3int_(1/4)^(1)dx/sqrt(1-x)$
in particolare ti inviterei a notare che $sqrt6/(3sqrt(1-x))>1/sqrt(2-x-sqrtx), forallx in[1/4,1)$
Quindi si può usare anche il metodo del confronto, che restituisce un valore veramente approssimato in maniera ottima dell'integrale di tuo interesse:
$0
l'integrale di destra restituisce banalmente $sqrt2$ dunque possiamo dire che:
$0
se fai con un calcolatore l'integrale di partenza ti viene $approx1,395$ contro gli $1,414$ dell'altro.
Questo si può notare dal fatto che:
$f(1/4)=0,,894$ e $g(1/4)=0,942$ e che poi 'crescono praticamente assieme'.
Grazie mille