Studio dei punti singolari di una funzione

[claudio_p88]

ho la seguente funzione \(\displaystyle f(z) = \frac{1}{1+z^4} \) ho pensato di procedere in questo modo per calcolare le singolarità, scompongo \(\displaystyle 1+z^4 = (1-\sqrt{i}x)(1+\sqrt{i}x)(1+i\sqrt{i}x)(1-i\sqrt{i}x) \) e da qui mi ricavo \(\displaystyle z_1 = \frac{1}{\sqrt{i}} \) \(\displaystyle z_2 = -\frac{1}{\sqrt{i}} \) \(\displaystyle z_3 = \frac{-1}{i\sqrt{i}} \) \(\displaystyle z_4 = \frac{1}{i\sqrt{i}} \), premetto subito che so di aver commesso errore, in quanto il libro mi dice che i quattro poli semplici sono \(\displaystyle z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}} \) \(\displaystyle z_2 = e^{i\frac{3\pi}{4}} \) \(\displaystyle z_3 = e^{i\frac{5\pi}{4}} \) \(\displaystyle z_4 = e^{i\frac{7\pi}{4}} \), o in coordinate cartesiane rispettivamente \(\displaystyle z_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}} \) \(\displaystyle z_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}} \) \(\displaystyle z_3 = -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}} \) \(\displaystyle z_4 = \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}} \), non riesco a capire come arrivi a calcolare i poli semplici, non riesco a capire da dove esca fuori l'esponente e perchè sia elevato a \(\displaystyle \pi \)per i relativi numeri, inoltre da lì come fà a riportarli in cordinate cartesiane? Grazie mille.

[gugo82]

Beh, hai evidentemente:
\[
\begin{split}
z^4+1 &= z^4+2z^2+1 - 2z^2 \\
&= (z^2+1)^2-(\sqrt{2}\ z)^2\\
&= [(z^2+1)-\sqrt{2}\ z]\ [(z^2+1)+\sqrt{2}\ z]\\
&= (z^2-\sqrt{2}\ z+1)\ (z^2 +\sqrt{2}\ z+1)\\
&= \left(z - \frac{\sqrt{2} - \imath\ \sqrt{2}}{2}\right)\ \left(z - \frac{\sqrt{2} + \imath\ \sqrt{2}}{2}\right)\ \left(z - \frac{-\sqrt{2} - \imath\ \sqrt{2}}{2}\right)\ \left(z - \frac{-\sqrt{2} + \imath\ \sqrt{2}}{2}\right)\\
&= \left(z - \frac{\sqrt{2}}{2} + \imath\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\ \left(z - \frac{\sqrt{2}}{2} - \imath\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\ \left(z + \frac{\sqrt{2}}{2} + \imath\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\ \left(z + \frac{\sqrt{2}}{2} - \imath\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{split}
\]
ossia:
\[
z^4+1 = \left(z-\exp(-\imath\ \frac{\pi}{4})\right)\ \left(z-\exp (\imath\ \frac{\pi}{4})\right)\ \left(z-\exp (-\imath\ \frac{3\pi}{4})\right)\ \left(z-\exp (\imath\ \frac{3\pi}{4}) \right)
\]
(come uno si aspetta, perché l'equazione $z^4+1=0$ è soddisfatta dalle quattro radici quarte di $-1$).

Ora, dato che i quattro zeri della funzione \(z^4+1\) sono tutti semplici (giacché i fattori nella scomposizione di $z^4+1$ sono tutti di primo grado), la funzione reciproca \(\frac{1}{z^4+1}\) ha in tali punti dei poli semplici, ossia del primo ordine.

[claudio_p88]

ok grazie mille...