Studio dei punti critici in $\mathbb R^2$

[frons79]

Sia $f(x;y) = (x^2 - 3x + 2) \ln(1 + y^2)$. Si chiede di :

[*:1pcxciyl]Determinare il gradiente[/*:m:1pcxciyl]
[*:1pcxciyl]Determinare i punti critici[/*:m:1pcxciyl]
[*:1pcxciyl]Determinare la matrice Hessiana di f in (x;y)[/*:m:1pcxciyl]
[*:1pcxciyl]Determinare se tra i punti critici di f(x;y) esistono due punti che sono punti di sella[/*:m:1pcxciyl][/list:u:1pcxciyl]
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Per calcolare il gradiente non ho avuto problemi
\[
\nabla f(x;y)=
\begin{cases}
(2x-3)\, \ln(1+y^2) \\
\frac{2y\, (x^2-3x+2)}{1+y^2}
\end{cases}
\]
che poi, uguagliato a zero mi ha dato i seguenti punti critici:
\[
P_1 (2;0) \, \, P_2 (1;0) \, \, P_3 (3/2;0)
\]
La matrice Hessiana è
\[
H(f(x;y))=
\begin{bmatrix}
2\,\ln(1+y^2) & \frac{4xy-6y}{1+y^2} \\
\frac{4xy-6y}{1+y^2} & \frac{2(x-2)(x-1)(1-y^2)}{(1+y^2)^2}
\end{bmatrix}
\]
mentre il determinante
\[
det(H(f(x;y)))=2 \, \ln(1+y^2) \, \frac{2(x-2)(x-1)(1-y^2)}{(1+y^2)^2}- \Bigg (\frac{4xy-6y}{1+y^2}\Bigg )^2
\]
Fatti tutti questi conti, visto che devo trovare solo punti di sella, ho provato a vedere se il determinante calcolato nei punti critici, fosse minore di zero. Purtroppo mi sono ritrovato ad avere tutti determinanti pari a zero, che non mi dicono molto. Ovviamente non penso che basti ciò per poter escludere a priori che non esistano punti di sella, quindi per procedere oltre ho provato con il metodo delle rette, calcolandomi la funzione ristretta sulla retta generica $y=mx-mx_0+y_0$ ottenendo, per il punto $P_1 (2;0)$
\[
f(x;mx-2m) = (x^2-3x+2)\, \ln(1+mx-2m)^2
\]
la quale derivata prima, considerando il coefficiente angolare, m, come costante è:
\[
(2x-3)(\ln(1+mx-2m)^2)+ \frac{2m(x^2-3x+2)}{m(x-2)+1}
\]
che quindi dipende da m.
A questo punto però non so che considerazioni possa fare per questo primo punto (e ovviamente procedendo con il medesimo sistema, anche per gli altri). Mi potete spiegare, per favore?

[billyballo2123]

Attenzione! Ogni punto $(x,0)$ annulla il gradiente
Tra questi devi cercarne due che siano di sella

[frons79]

"billyballo2123":Attenzione! Ogni punto $(x,0)$ annulla il gradiente
Tra questi devi cercarne due che siano di sella

E quindi, come si fa? Per il momento me ne basta uno (cioè capire il procedimento su un punto critico, e poi applicarlo ancora agli altri). Come si procede, da dove sono arrivato io, col metodo delle rette (o se c'è un altro metodo migliore in questo caso senza usare le coordinate polari)?