Studio curva "iperbolica"

[previ91]

Devo studiare la seguente curva : $\gamma (t) = (a ch(t) , b sh(t))$ con $t \in R$ e $a,b > 0$.

Per determinare se è chiusa , dato che è definita su R ho pensato che , non avendo un intervallo di definizione chiuso anche la stessa curva non può essere chiusa ( quali punti dovrei prendere per verificare che $\gamma (t_1) = \gamma (t_2)$ ? )

Per determinare se è semplice o meno bisogna verificare la condizione seguente : $\gamma (t_1) = \gamma (t_2) \rightarrow t_1 = t_2$ . Quindi $a ch(t_1)=a ch(t_2) , b sh(t_1)=b sh(t_2)$ e qui mi perdo , come faccio a verificarlo ???

Ultimo punto la regolarità : la derivata è di classe $c^1$ : $\gamma ' (t) = (a sh (t) , b ch (t) )$ e poichè non esiste una t che la annulli contemporaneamente, è regolare !!

Le mie domande sono : potete darmi una mano per dimostrare se è semplice ? E il procedimento generale è buono ? grazie

[Flaviuz1]

Per verificare che $sinh(t_1)=sinh(t_2)$ risolvi l'equazione esplicita:
$(e^(t_1)-e^(t_1))/2=(e^(t_2)-e^(t_2))/2$

Oppure dimostra che è una funzione crescente (derivata prima).

Per il coseno però non sarei così sicuro di quello che hai scritto....