Studio crescenza/decrescenza di funzione irrazionale

[will_99]

Buonasera,
ho delle difficoltà nello studio della seguente funzione:
$ \sqrt{3}/2 x^2-sqrt(6-x) $
Ho trovato la derivata che è:
$ [2sqrt(3)xsqrt(6-x)+1] /(2sqrt(6-x) $

Ora la difficoltà è nel numeratore, dato che il denominatore è sempre positivo $ AA x in (-oo , 6) $
Come posso procedere dunque per risolvere $ 2sqrt(3)xsqrt(6-x)+1>= 0 $ ?

[gio73]

Ciao
non mi viene in mente niente di particolarmente efficace...
(se non risolvere una equazione di 3° grado)
possiamo comunque dire che nell'intervallo $[0; 6)$ la derivata è senz'altro positiva, dunque la nostra funzione crescente
nell'intervallo $(-oo; 0)$ ci sarà un valore negativo di x che annulla la derivata, chiamiamolo $x_m$
pertanto nell'intervallo $(-oo; x_m)$ la derivata è negativa, e la funzione è decrescente, abbiamo un minimo in corrispondenza di $x_m$, nell'intervallo $(x_m; 0)$ la funzione è crescente.

Ti torna?

[will_99]

Grazie per la disponibilità, purtroppo non abbiamo completato questo esercizio durante le esercitazioni e quindi non conosco la soluzione. Tuttavia il ragionamento è giustissimo e ti ringrazio per avermi illuminato su questo. Quel valore $ Xm $ non dev'essere facile da trovare. Grazie ancora.

[gugo82]

@will_99: La 'crescenza' è un formaggio, lasciala a stagionare... Si dice studio della monotònia.

Ad ogni buon conto, si deve risolvere la disequazione:
\[
x\sqrt{6-x} \geq - \frac{\sqrt{3}}{6}
\]
in $]-oo, 6]$. Elevando al quadrato salta fuori una bella equazione cubica, che si potrebbe risolvere con le formule di Cardano... Ma non è il caso.

D'altra parte, la funzione $phi (x) := x sqrt(6-x)$ è derivabile in $]-oo,6[$ e la sua derivata è:
\[
\varphi^\prime (x) = \sqrt{6-x} - \frac{x}{2\sqrt{6-x}} = \frac{3(4-x)}{2\sqrt{6-x}}
\]
la quale è positiva per $x<4$, negativa per $4 Dall'analisi della monotònia e dalla continuità di $phi$ viene fuori che esiste un unico valore $x_0$ tale che $phi (x_0)=-(sqrt(3))/6$, che tale $x_0$ è negativo (perché $phi(x)>=0$ in $[0,6]$), che in $]-oo,x_0[$ si ha $phi(x)< -(sqrt(3))/6$ ed in $]x_0,6]$ risulta $phi(x)> - (sqrt(3))/6$.

Dunque la funzione $f$ ha derivata prima positiva in $]x_0,6[$ ed è strettamente crescente in $[x_0,6]$ ed ha derivata seconda negativa in $]-oo,x_0[$ ed è strettamente decrescente in $]-oo,x_0]$.
Il punto $x_0$ è di minimo per $f$.

Con un po' di pazienza (ed un software) si trova $x_0\approx -0.117$ con $f(x_0)\approx -2.46$.

[dissonance]

[ot]La crescenza è un formaggio fresco, meglio non farla stagionare[/ot]

[gugo82]

@dissonance:
[ot]

Mi è capitato anche l'altro ieri con una studentessa che sosteneva l'esame orale:

- Ok, vediamo... Criterio di Monotonia. - La tipa scrive l'enunciato alla lavagna... Apporto piccole correzioni, poi le dico: - Ora è meglio. Lo sa dimostrare? -
- Quale dei due casi? -
- Quello che le piace di più -
- Va bene professore. Allora dimostro la crescenza -
- Sì, così poi vediamo anche lo stracchino... - [/ot]