Studio convergenze serie di potenze
ho questa serie
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{nx^n}[/tex] che posso trasformare in serie di potenze ponendo [tex]t=\frac{1}{x}[/tex]
calcolo il raggio di convergenza che mi viene 1, quindi ho:
per [tex]|t|<1[/tex] la serie converge assolutamente
per [tex]|t|>1[/tex] non ho convergenza,
per [tex]|t|<=a<1[/tex] ho convergenza totale con a arbitrario compreso tra 0 e 1 (estremi esclusi).
Agli estremi della funzione ho
per [tex]t=1[/tex] la mia serie è simile ad una serie armonica e diverge
per [tex]t=-1[/tex] mi viene fuori una serie di leibnitz che converge.
ora torno alla variabile x:
[tex]|\frac{1}{x}| <1[/tex] se [tex]x>1,x<-1[/tex] quindi ho [tex]x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)[/tex] c'è convergenza assoluta
[tex]|\frac{1}{x}| >1[/tex] se [tex]x<1,x>-1[/tex] nessuna convergenza
[tex]|\frac{1}{x}| >a[/tex] se [tex]a\susbetx\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)[/tex]
c'è qualcosa che ho sbagliato, qualcosa di strano o qualcos'altro che posso dire su questa cosa?
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{nx^n}[/tex] che posso trasformare in serie di potenze ponendo [tex]t=\frac{1}{x}[/tex]
calcolo il raggio di convergenza che mi viene 1, quindi ho:
per [tex]|t|<1[/tex] la serie converge assolutamente
per [tex]|t|>1[/tex] non ho convergenza,
per [tex]|t|<=a<1[/tex] ho convergenza totale con a arbitrario compreso tra 0 e 1 (estremi esclusi).
Agli estremi della funzione ho
per [tex]t=1[/tex] la mia serie è simile ad una serie armonica e diverge
per [tex]t=-1[/tex] mi viene fuori una serie di leibnitz che converge.
ora torno alla variabile x:
[tex]|\frac{1}{x}| <1[/tex] se [tex]x>1,x<-1[/tex] quindi ho [tex]x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)[/tex] c'è convergenza assoluta
[tex]|\frac{1}{x}| >1[/tex] se [tex]x<1,x>-1[/tex] nessuna convergenza
[tex]|\frac{1}{x}| >a[/tex] se [tex]a\susbetx\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)[/tex]
c'è qualcosa che ho sbagliato, qualcosa di strano o qualcos'altro che posso dire su questa cosa?
Risposte
Mi sembra tu abbia detto tutto. Attento solo alla disuguaglianza che hai scritto nell'ultimo caso e ai due casi particolari [tex]x=\pm 1[/tex].
? dove? per gli estremi se metto x=1 ho la serie [tex]\frac{1}{n^\alpha}[/tex] che se non ricordo male diverge per alfa <=1
se sostituisco a x (-1) ho una forma tipo serie di leibnitz che converge... ti giuro non so dove sia il problema...
se sostituisco a x (-1) ho una forma tipo serie di leibnitz che converge... ti giuro non so dove sia il problema...
No no, tranquillo. Non dico che hai sbagliato. Dicevo solo che hai scritto $>a$ nell'ultima disuguaglianza (e non $\leq a$) e ti sei dimenticato di riportare i due casi per $x=\pm 1$ ma per il resto è tutto corretto. 
ah gia, ecco cosa mancava
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