Studio convergenza/divergenza integrale
integrate from 0 to 1 (e^(x^2)sinx/(x^(1/2)log(1+x)))dx
Salve, vado in netta difficoltà di fronte a questo genere di esercizi, ovvero studio di convergenza e divergenza di integrali impropri..so che questo integrale converge, ma non capisco il perchè..qualcuno può mica risolvermi l'esercizio e darmi una spiegazione (metodo di lavoro..) per questo genere di esercizi?
Salve, vado in netta difficoltà di fronte a questo genere di esercizi, ovvero studio di convergenza e divergenza di integrali impropri..so che questo integrale converge, ma non capisco il perchè..qualcuno può mica risolvermi l'esercizio e darmi una spiegazione (metodo di lavoro..) per questo genere di esercizi?
Risposte
In generale questo tipo di esercizio va risolto studiando il comportamento asintotico della funzione vicino ai punti nell'intervallo di integrazione dove la funzione stessa risulta non regolare (discontinua o non ben definita). Vediamo come ragionare in questo caso.
Un'analisi veloce della funzione ci assicura che il dominio risulta
Combinando il tutto si ricava che
Detto questo ci serviamo del seguente criterio:
l'integrale
Un'analisi veloce della funzione ci assicura che il dominio risulta
[math]D=(0,+\infty)[/math]
: pertanto l'unico punto problematico risulta [math]x=0[/math]
. A questo punto andiamo a vedere come si comportano, asintoticamente, le varie componenti della funzione quando [math]x\to 0^+[/math]
. Abbiamo[math]e^{x^2}\sim 1,\qquad \sin x\sim x[/math]
[math]\sqrt{x}\sim x^{1/2},\qquad \log(1+x)\sim x[/math]
Combinando il tutto si ricava che
[math]f(x)\sim\frac{1\cdot x}{x^{1/2}\cdot x}=\frac{1}{x^{1/2}}[/math]
Detto questo ci serviamo del seguente criterio:
l'integrale
[math]\int_a^b g(x)\ dx[/math]
converge in un intorno del punto [math]a[/math]
se e solo se [math]g(x)\sim\frac{1}{(x-a)^\alpha}[/math]
essendo [math]\alpha
Grazie mille ciampax!
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Scusami Ciampax, cercando sul web altre informazioni riguardanti questo argomento, sono incappato in questo esercizio risolto..
mi ci sono arrovellato..ma non riesco a capire (nel riquadro in rosso) come può sqrt((1+(sqrt(x))))-1 con x->0 diventare: 1/2(sqrt(x))!?
potresti darmi una spiegazione perfavore?
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Scusami Ciampax, cercando sul web altre informazioni riguardanti questo argomento, sono incappato in questo esercizio risolto..
mi ci sono arrovellato..ma non riesco a capire (nel riquadro in rosso) come può sqrt((1+(sqrt(x))))-1 con x->0 diventare: 1/2(sqrt(x))!?
potresti darmi una spiegazione perfavore?
La parola magica è razionalizzazione ;)
quello lo immaginavo..ma un conto è dirlo un conto è farlo..potresti mica scrivermi i passaggi con una spiegazioncina perfavore?
E' di una semplicità disarmante, lo noterai tu stesso. :)
A questo punto, per
Fine ;)
(*) Infatti, si ha
[math]\sqrt{1+\sqrt{x}}-1=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}-1\right)\cdot \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}\;.\\[/math]
A questo punto, per
[math]x\to 0 \\[/math]
, si ha [math]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}\sim \frac{1}{2}\sqrt{x}\; .\\[/math]
(*)Fine ;)
(*) Infatti, si ha
[math]\begin{align}\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}}{\frac{1}{2}\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1} = 1 \; .\end{align} [/math]
In realtà, riguardo quella cosa, dovrebbe essere noto che
quando
[math](1+x)^\alpha\sim 1+\alpha x[/math]
quando
[math]x\to 0[/math]
.
Vi ringrazio entrambi..però avrei ancora qualche domanda..
1- Ciampax quest'ennesima formula, ma anche tutte le altre, a cosa fanno riferimento? limiti notevoli? formule generali per la scomposizione (se fosse dove posso trovarle..)?
2- Sempre Ciampax, nel primo post di risposta, quando vai a fare le varie stime asintotiche di ogni membro..tipo e^(x)^(2) -> 1, sen(x)->x ecc.. i risultati sono scomposizioni per mezzo di formule (taylor?) o stime dovute a semplici calcoli tenendo di conto che x->0? anche perchè non capisco come mai alcuni sono numeri (vedi "1") e ad altri lasci l'incognita (come con sen(x))..
1- Ciampax quest'ennesima formula, ma anche tutte le altre, a cosa fanno riferimento? limiti notevoli? formule generali per la scomposizione (se fosse dove posso trovarle..)?
2- Sempre Ciampax, nel primo post di risposta, quando vai a fare le varie stime asintotiche di ogni membro..tipo e^(x)^(2) -> 1, sen(x)->x ecc.. i risultati sono scomposizioni per mezzo di formule (taylor?) o stime dovute a semplici calcoli tenendo di conto che x->0? anche perchè non capisco come mai alcuni sono numeri (vedi "1") e ad altri lasci l'incognita (come con sen(x))..
Allora:
1) Quelle che ti ho scritto sono le versioni asintotiche dei limiti notevoli. Te ne faccio un elenco:
dove in generale
2) la 1) contiene la risposta a questa seconda domanda. In generale quando posso sostituire direttamente valori numerici (che non complicano la vita) lo faccio. Tieni conto che con i limiti le uniche funzioni che non puoi sostituire con valori numerici (ma con funzioni equivalenti) sono quelle che hanno come limite zero o infinito: se invece hai una funzione che ha come valore limite un numero diverso dai precedenti, allora puoi tranquillamente effettuare tale sostituzione. Ovvi che qui sto parlando di funzioni che si presentano come fattori: se ti trovi in casi come somme o differenze devi stare più attento: ad esempio è scorretto scrivere
mentre è corretto scrivere
Spero di essere stato chiaro.
1) Quelle che ti ho scritto sono le versioni asintotiche dei limiti notevoli. Te ne faccio un elenco:
[math]\sin t\sim t\\ \cos t\sim 1-\frac{t^2}{2}\\ \tan t\sim t\\ e^t\sim 1+t\\ \log(1+t)\sim t\\ (1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t[/math]
dove in generale
[math]t[/math]
rappresenta una variabile o una funzione che ha come limite zero. Un modo alternativo per vedere queste regole è anche quello di pensarle come sviluppi di Taylor al primo ordine (o, per meglio dire, al primo termine non costante).2) la 1) contiene la risposta a questa seconda domanda. In generale quando posso sostituire direttamente valori numerici (che non complicano la vita) lo faccio. Tieni conto che con i limiti le uniche funzioni che non puoi sostituire con valori numerici (ma con funzioni equivalenti) sono quelle che hanno come limite zero o infinito: se invece hai una funzione che ha come valore limite un numero diverso dai precedenti, allora puoi tranquillamente effettuare tale sostituzione. Ovvi che qui sto parlando di funzioni che si presentano come fattori: se ti trovi in casi come somme o differenze devi stare più attento: ad esempio è scorretto scrivere
[math]\sin x-\tan x\sim x-x=0[/math]
mentre è corretto scrivere
[math]\sin x-\tan x=\sin x\left(1-\frac{1}{\cos x}\right)\sim x\left(1-\frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}\right)[/math]
Spero di essere stato chiaro.
Chiarissimo..ancora grazie mille!
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Scusami Ciampax ma il teorema che hai usato nell'immagine che teorema è?
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Scusami Ciampax ma il teorema che hai usato nell'immagine che teorema è?
Ci sono due teoremi fondamentali relativi all'integrazione impropria che sono i seguenti (il primo vale quando si integra in un intorno di infinito, il secondo quando lo si fa in un intorno di un punto dove la funzione ha problemi di definizione o di continuità).
TEOREMA 1: L'integrale
(Nota: possiamo sostituire a +infinito anche -infinito, mantenendo lo stesso risultato. L'osservazione importante è che sull'intervallo di integrazione
TEOREMA 2: L'integrale
TEOREMA 1: L'integrale
[math]\int_a^{+\infty} f(x)\ dx[/math]
converge se si ha [math]f(x)\sim\frac{1}{x^\alpha}[/math]
con [math]\alpha>1[/math]
quando [math]x\to\infty[/math]
(Nota: possiamo sostituire a +infinito anche -infinito, mantenendo lo stesso risultato. L'osservazione importante è che sull'intervallo di integrazione
[math](a,+\infty)[/math]
la funzione non deve presentare altri problemi.)TEOREMA 2: L'integrale
[math]\int_a^{b} f(x)\ dx[/math]
, dove la funzione [math]f(x)[/math]
non è ben definita nel punto [math]x=a[/math]
, converge se si ha [math]f(x)\sim\frac{1}{(x-a)^\alpha}[/math]
con [math]\alpha
Ti ringrazio per questi aiuti, adesso mi è tutto molto più chiaro.
Il problema è che sul nostro libro di riferimento questo argomento non è trattato sotto il punto di vista della stima asintotica. Nel senso che ogni teorema spiegato (di primo e secondo tipo) si riferisce sempre al limite solo dopo aver risolto la funzione integrale, e mai riguardo il confronto asintotico sull'integranda.
Il problema è che sul nostro libro di riferimento questo argomento non è trattato sotto il punto di vista della stima asintotica. Nel senso che ogni teorema spiegato (di primo e secondo tipo) si riferisce sempre al limite solo dopo aver risolto la funzione integrale, e mai riguardo il confronto asintotico sull'integranda.
Quindi mi stai dicendo che il tuo testo parla solo del "metodo di calcolo" e non di quello per la verifica se l'integrale converga? Però gli esercizi che posti sono del secondo tipo (anche perché ti sfido a provare a calcolare il primo integrale, per esempio) per cui la cosa mi puzza un po'.
Si, più o meno e questo. E il problema deriva dal fatto che ho avuto un cambio di docente. Il primo, o meglio la prima, non batteva molto sulla convergenza degli integrali impropri, anzi diciamo quasi per niente. Il secondo, di cui purtroppo non ho potuto seguire il corso, invece si.
Il libro che ho io è il marcellini-sbordone. Qualcosina c'è, per carità, ma ad esempio i due teoremi che mi hai citato non sono riuscito a trovarli. Possibile che sia un errore mio eh, per carità...
Il libro che ho io è il marcellini-sbordone. Qualcosina c'è, per carità, ma ad esempio i due teoremi che mi hai citato non sono riuscito a trovarli. Possibile che sia un errore mio eh, per carità...
Ah sì, sul Marcellini-Sbordone trovi scritto un Teorema del confronto che è praticamente ciò che dico io (loro fanno un confronto non locale ma globale delle funzioni, ma è lo stesso). Comunque, i teoremi utili sono i due che ti ho scritto.
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