Studio convergenza uniforme
Ciao a tutti sono rimasto bloccato nel seguente esercizio:
Studiare convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni:
$\sum_{n=1}^(+\infty) sqrt(n)/(n^2*x^2+4n*x+5)$
Ho ragionato nel seguente modo:
CONVERGENZA PUNTUALE:
La serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza in $]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$; inoltre si tratta di una serie a termini positivi in quanto la possiamo scrivere come:
$\sum_{n=1}^(+\infty) sqrt(n)/((nx+2)^2+1)$.
Per studiare la convergenza puntuale ho usato il criterio del confronto con la serie $1/n^(3/2)$.Da cui ho ottenuto che il limite fa $1/x^2$ che è maggiore di $0$ per $x!=0$.Quindi ho convergenza puntuale in:
$]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$.
Corretto?
STUDIO CONVERGENZA UNIFORME:
studio la convergenza totale....Potete aiutarmi in questo passo?
Studiare convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni:
$\sum_{n=1}^(+\infty) sqrt(n)/(n^2*x^2+4n*x+5)$
Ho ragionato nel seguente modo:
CONVERGENZA PUNTUALE:
La serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza in $]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$; inoltre si tratta di una serie a termini positivi in quanto la possiamo scrivere come:
$\sum_{n=1}^(+\infty) sqrt(n)/((nx+2)^2+1)$.
Per studiare la convergenza puntuale ho usato il criterio del confronto con la serie $1/n^(3/2)$.Da cui ho ottenuto che il limite fa $1/x^2$ che è maggiore di $0$ per $x!=0$.Quindi ho convergenza puntuale in:
$]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$.
Corretto?
STUDIO CONVERGENZA UNIFORME:
studio la convergenza totale....Potete aiutarmi in questo passo?
Risposte
La convergenza è totale se ciascuna delle funzioni che vengono sommate nella serie è limitata e se la serie degli estremi superiori dei valori assoluti è convergente. In questo caso:
$f_n (x)= (sqrt(n))/((nx+2)^2 +1)$ che è massima quando il denominatore è minimo, cioè quando $x=0$, ma $f_n (0)= (sqrt(n))/5$ e la serie associata non è convergente. Pertanto non si ha convergenza totale su tutto $RR\{0}$. Però si ha convergenza totale su intervalli del tipo $[a,+infty[$ con $a>0$ o $]-infty,a]$ con $a<0$. Perchè?
Il fatto che la convergenza non sia totale non implica automaticamente che non sia uniforme. Non si ha comunque convergenza uniforme perchè la funzione limite diverge intorno a $0$.
$f_n (x)= (sqrt(n))/((nx+2)^2 +1)$ che è massima quando il denominatore è minimo, cioè quando $x=0$, ma $f_n (0)= (sqrt(n))/5$ e la serie associata non è convergente. Pertanto non si ha convergenza totale su tutto $RR\{0}$. Però si ha convergenza totale su intervalli del tipo $[a,+infty[$ con $a>0$ o $]-infty,a]$ con $a<0$. Perchè?
Il fatto che la convergenza non sia totale non implica automaticamente che non sia uniforme. Non si ha comunque convergenza uniforme perchè la funzione limite diverge intorno a $0$.
Ma il valore massimo della funzione non viene assunto in $-2/n$? Perchè facendo la derivata la funzione risulta essere crescente per $x<-2/n$ e quindi il sup dovrebbe essere assunto in $-2/n$ o sbaglio?
"identikit_man":
Ma il valore massimo della funzione non viene assunto in $-2/n$? Perchè facendo la derivata la funzione risulta essere crescente per $x<-2/n$ e quindi il sup dovrebbe essere assunto in $-2/n$ o sbaglio?
Hai ragione. Poichè $2/n ->0$ per $n->+infty$ tutte le deduzioni successive valgono comunque (a meno di altre sviste).
Quindi è come se il sup per $n->+\infty$ si spostasse.Giusto?
Sì, i sup delle varie funzioni non si trovano tutti in corrispondenza dello stesso valore di $x$.
Quello che non mi è molto chiaro è una cosa; in questo caso che la convergenza puntuale si ha in 2 intervalli separati.Quando vado a studiare la convergenza totale; devo studiare la serie nei 2 intervalli come se fossero due studi separati?
Si', esatto, la cosa piu' semplice e' studiare separatamente ciascun intervallo.
Poi se trovi convergenza totale in entrambi, allora puoi anche dire che la convergenza e' totale nell'insieme formato dall'unione dei due intervalli (ovvia conseguenza delle definizioni).
Poi se trovi convergenza totale in entrambi, allora puoi anche dire che la convergenza e' totale nell'insieme formato dall'unione dei due intervalli (ovvia conseguenza delle definizioni).
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