Studio convergenza \(\sum_{k = 0}^\infty k^3 \lvert 9-b^2 \rvert ^{\frac{4k^2}{k+7}}\)
\(\newcommand\Serie{\sum_{k = 0}^\infty k^3 \lvert 9-b^2 \rvert ^{4\frac{k^2}{k+7}}}
\newcommand\serie{\sum_{k = 0}^\infty k^3 \alpha ^{\frac{k^2}{k+7}}}
\newcommand\termine{k^3 \alpha ^{\frac{k^2}{k+7}}}
\)Ciao a tutti!
volevo chiedervi un parere sullo studio che ho fatto della serie in titolo. Per attaccare il problema, con la sostituzione \(\alpha := (9-b^2)^4\), studio invece \[\serie\quad \text{con } \alpha \ge 0\,.\] Ho che \[\termine = e ^ {3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha}\] ed analizzando l'esponente ho (un po' tirnado a caso e correggendo il tiro...) \[3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha \sim k \ln \alpha \quad \text{per } k \to \infty\,.\]
Da cui \[
\termine = e ^ {3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha} \sim e^{k \ln \alpha} = \alpha^k \quad \text{per }k \to \infty\,.\]
In definitiva, la nostra \(\serie\) avrebbe lo stesso comportamento della serie geometrica \(\sum_{k = 0}^\infty \alpha ^ k\).
Il resto sono conti semplici e quindi mi fermerei qui. Può andare bene come ragionamento?
\newcommand\serie{\sum_{k = 0}^\infty k^3 \alpha ^{\frac{k^2}{k+7}}}
\newcommand\termine{k^3 \alpha ^{\frac{k^2}{k+7}}}
\)Ciao a tutti!
volevo chiedervi un parere sullo studio che ho fatto della serie in titolo. Per attaccare il problema, con la sostituzione \(\alpha := (9-b^2)^4\), studio invece \[\serie\quad \text{con } \alpha \ge 0\,.\] Ho che \[\termine = e ^ {3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha}\] ed analizzando l'esponente ho (un po' tirnado a caso e correggendo il tiro...) \[3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha \sim k \ln \alpha \quad \text{per } k \to \infty\,.\]
Da cui \[
\termine = e ^ {3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha} \sim e^{k \ln \alpha} = \alpha^k \quad \text{per }k \to \infty\,.\]
In definitiva, la nostra \(\serie\) avrebbe lo stesso comportamento della serie geometrica \(\sum_{k = 0}^\infty \alpha ^ k\).
Il resto sono conti semplici e quindi mi fermerei qui. Può andare bene come ragionamento?
Risposte
"kaspar":
ed analizzando l'esponente ho (un po' tirnado a caso e correggendo il tiro...) \[3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha \sim k \ln \alpha \quad \text{per } k \to \infty\,.\]
Infatti per \(k \to \infty\) \[\frac{3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha}{k \ln \alpha} =
\frac{3\ln k}{k \ln \alpha} + \frac{k^2}{k^2+7k} \to 1\,.\]
Bisogna andarci cauti con le sostituzioni asintotiche... Perché non è mica sempre vero che
$$
f(x)\sim g(x) \Rightarrow e^{f(x)} \sim e^{g(x)}
$$
Infatti se prendo ad esempio $f(x)=e^x\left(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)$ Allora è evidente che $f(x)~ g(x)=e^x$ tuttavia non è vero che $e^{f(x)} ~ e^{g(x)}$ infatti :
$$
\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{e^x\left(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)}}{e^{e^x}}=\lim_{x\to +\infty}e^{e^x\left(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)-e^{e^x}}=+\infty
$$
Quindi c'è da stare attenti, si può dimostrare(provaci
) che se $g(x) \to L$ , con $L\in\mathbb{R}$ allora vale che$$
f(x)\sim g(x) \Rightarrow e^{f(x)} \sim e^{g(x)}
$$
Ma purtroppo questo non è il tuo caso... Quindi ti manca da verificare questo asintotico:
"kaspar":
Da cui \[ e ^ {3 \ln k + \frac{k^2}{k+7}\ln \alpha} \sim e^{k \ln \alpha} = \alpha^k \quad \text{per }k \to \infty\,. \]
Sempre ammesso che sia asintotico
, quindi il ragionamento va aggiustato...
E allora sono fregato... 
Non saprei come fare...
Non saprei come fare...
prova a vedere se il tuo esponenziale è asintotico a una funzione del tipo $\alpha^{ak^b+c}$... con $a$, $b$ e $c$ da determinare...
Tipo \(a = 1\), \(b = 1\) e \(c = -7\) ?
Ottimo!
Grazie \(\infty\) !
Per curiosità e confronto: come avreste risolto l'esercizio?
"kaspar":
Per curiosità e confronto: come avreste risolto l'esercizio?
Addirittura del "Voi" ?!? ahahahahahah
Anyway...
Avrei definito $\alpha$ come hai fatto tu, poi avrei notato che per $\alpha= 0$ e di conseguenza $b=\pm 3$ la serie diventa la somma infinita di $0$ che ovviamente converge a zero.
Poi dopo aver posto $\alpha\ne 0$ avrei mostrato come ti ho suggerito che
$$
\sum_{k=0}^{+\infty} k^3\alpha^{\frac{k^2}{k+7}}\sim \sum_{k=0}^{+\infty} k^3\alpha^{k-7}= \alpha^{-7}\sum_{k=0}^{+\infty} k^3\alpha^{k}$$
e avendo posto $\alpha\ne 0$ non ho problemi col termine $\alpha^{-7}$.
A questo punto la cosa più semplice è applicare equivalentemente il criterio della radice o del rapporto, da cui concludi che la serie converge se $\alpha <1 $ e diverge per $\alpha>1$ visto che $\alpha>0$. Infine essendo escluso il caso $\alpha=1$ avrei sostituito tale valore nella serie notando che ottengo la serie $$\sum_{k=0}^{+\infty}k^3$$ che ovviamente diverge perché $k^3\to +\infty$.
poi chiaramente tutte le disuguaglianze in $\alpha$ vanno risolte per trovare $b$, ma sono disequazioni banali
"Bossmer":
[quote="kaspar"]Per curiosità e confronto: come avreste risolto l'esercizio?
Addirittura del "Voi" ?!? ahahahahahah
[/quote]
Mi riferivo anche ad un pubblico più vasto. Pensavo ci fosse un'altra soluzione.Grazie ancora
"kaspar":
Pensavo ci fosse un'altra soluzione.
Beh la sostituzione con $\alpha$ credo che chiunque per comodità l'avrebbe fatto... poi cercare l'asintotico non era necessario potevi applicare il criterio del confronto o della radice direttamente a quella iniziale, ma questa soluzione non è sostanzialmente diversa perché semplicemente ottieni dei limiti "più difficili" da risolvere.
Anche nella ricerca dell'asintotico potevi cercare un asintotico della forma $d*\alpha^{a*k^b}$ invece di quello che ti ho consigliato, ma anche in questo caso non c'è una differenza sostanziale con quanto abbiamo fatto.
Potevi confrontarlo con la serie notevole $\sum k^a\alpha^k$ con $a>0$ che converge se $|alpha|<1$ e diverge per $|\alpha|\geq 1$... ma anche questo non è sostanzialmente diverso da quanto abbiamo fatto...
Un metodo sostanzialmente diverso per risolverlo sarebbe stato quello del confronto integrale, prima di tutto notavi che la successione $k^3 \alpha^k $ non tende a zero e se $|alpha|\geq 1$ e di conseguenza la serie non può convergere, ed essendo a termini positivi divergerà per forza.
Poi potevi usare il confronto integrale ovvero che
$$
\sum_{k=0}^{+\infty} k^3 \alpha^k \leq \int_{0}^{+\infty} x^3\alpha^x dx
$$
e studiare l'integrale improprio, che converge se $\alpha<1$... e il fatto che converge lo puoi notare o confrontando con la famiglia di integrali notevoli "tabulata", oppure banalmente risolvendo l'integrale indefinito e calcolando il limite della primitiva per $x \to +\infty$ e notando che tale limite esiste finito (se $\alpha<1$), ed essendo definita e limitata in tutto il resto dell'intervallo di integrazione allora l'integrale converge e di conseguenza anche la serie converge...
Altri metodi non saprei... forse esplicitando la successione delle somme parziali viene qualcosa di carino, ma così su due piedi non credo... e il teorema di condensazione di Cauchy non mi sembra immediato da applicare a questa serie... quindi altri metodi al momento non mi vengono in mente...
"kaspar":
Per curiosità e confronto: come avreste risolto l'esercizio?
Criterio della radice… Il risultato si vede ad occhio.
"gugo82":
[quote="kaspar"]Per curiosità e confronto: come avreste risolto l'esercizio?
Criterio della radice… Il risultato si vede ad occhio.[/quote] Giusto. Credo che sia per ignoranza se penso a strategie risolutive più intricate del dovuto. Alla fine penso ci voglia un po' d'occhio.
Non è ignoranza.
Diceva l’incipit di un libro di Saramago: “se riesci a vedere, guarda. Se riesci a guardare, osserva”.
Diceva l’incipit di un libro di Saramago: “se riesci a vedere, guarda. Se riesci a guardare, osserva”.
Non è ignoranza
Questa cosa andrebbe detta più esplicitamente fin da subito, all'università. Se uno trova una soluzione facendo una barca di conti, e poi si accorge che non erano necessari, non vuol mica dire che è un cretino, anzi, è proprio così che funziona la ricerca. Ma da studente non la pensavo così, stavo sempre a cercare di trovare il sistema per non fare conti. Me ne sono poi pentito quando sono arrivato al dottorato, è stato uno shock. Uno dei primi che mi fece capire questo concetto fu Vazquez, tu Gugo penso proprio lo abbia conosciuto, con il suo "braccio di ferro", come chiamava l'abilità di fare lunghi calcoli. Poi l'ho perso di vista, ma questa cosa mi è rimasta impressa.
@ dissonance: Sì, Vazquez l'ho incrociato a qualche scuola estiva…
Ad ogni buon conto, è chiaro che a volte il tempo di calcolo può essere ottimizzato (vedi prodotti notevoli, tanto per fare un esempio familiare a tutti) e che altre volte eseguire calcoli non serve davvero a nulla (vedi la risoluzione di $x^2 - 2x +1 \geq 0$ con la "solita formuletta", tanto per fare nuovamente un esempio familiare a tutti), ma in parecchi contesti fare il conto e fare contazzi schifosi è l'unica strada che si può percorrere per risolvere un problema.[nota]Poi, dopo mille anni, arriva un categorista e afferma: -Quello che nei millenni precedenti si è dimostrato è banale, perché dipende da certe proprietà strutturali dei una certa categoria… (segue diagramma con tante frecce)- Ma ovviamente, delle proprietà strutturali di quella certa categoria non si saprebbe alcunché se qualcuno, per millenni, non si fosse scornato coi conti.[/nota]
Ricordo un seminario su una disuguaglianza di tipo isoperimetrico (collegata a problemi di galleggiamento di solidi) in cui lo speaker, parlando della forma dei solidi che verificassero l'uguaglianza, disse una cosa tipo: "Qui sono conti, tanti e noiosi. Per costruire la forma ottimale abbiamo dovuto letteralmente prendere a martellate un triangolo e modificarlo finché non entrava lì dove volevamo entrasse".
Ad ogni buon conto, è chiaro che a volte il tempo di calcolo può essere ottimizzato (vedi prodotti notevoli, tanto per fare un esempio familiare a tutti) e che altre volte eseguire calcoli non serve davvero a nulla (vedi la risoluzione di $x^2 - 2x +1 \geq 0$ con la "solita formuletta", tanto per fare nuovamente un esempio familiare a tutti), ma in parecchi contesti fare il conto e fare contazzi schifosi è l'unica strada che si può percorrere per risolvere un problema.[nota]Poi, dopo mille anni, arriva un categorista e afferma: -Quello che nei millenni precedenti si è dimostrato è banale, perché dipende da certe proprietà strutturali dei una certa categoria… (segue diagramma con tante frecce)- Ma ovviamente, delle proprietà strutturali di quella certa categoria non si saprebbe alcunché se qualcuno, per millenni, non si fosse scornato coi conti.
[/nota]Ricordo un seminario su una disuguaglianza di tipo isoperimetrico (collegata a problemi di galleggiamento di solidi) in cui lo speaker, parlando della forma dei solidi che verificassero l'uguaglianza, disse una cosa tipo: "Qui sono conti, tanti e noiosi. Per costruire la forma ottimale abbiamo dovuto letteralmente prendere a martellate un triangolo e modificarlo finché non entrava lì dove volevamo entrasse".
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