Studio convergenza serie di potenze
Ho la seguente seriee di potenze:
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{nsin \frac{1}{n}}}{n}x^{2n} $
Per studiare la convergenza devo applicare il criterio della radice o il criterio del rapporto e una trovato il raggio mi scrivo l'intervallo di convergenza e vedo se la serie converge agli estremi andando a sostituire i valori dell'intervallo. Però solitamente negli esercizi che ho fatto compariva sempre $ x^n $ mentre adesso compare $ x^{2n} $. Cosa cambia nel metodo di risoluzione? Considero sempre la funzione $ \frac {e^{nsin \frac{1}{n}}}{n} $ anche se compare $ x^{2n} $?
Oppure effettuo una sostituzione $ z=x^2 $ e studio la convergenza della serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{nsin \frac{1}{n}}}{n}z^{n} $?
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{nsin \frac{1}{n}}}{n}x^{2n} $
Per studiare la convergenza devo applicare il criterio della radice o il criterio del rapporto e una trovato il raggio mi scrivo l'intervallo di convergenza e vedo se la serie converge agli estremi andando a sostituire i valori dell'intervallo. Però solitamente negli esercizi che ho fatto compariva sempre $ x^n $ mentre adesso compare $ x^{2n} $. Cosa cambia nel metodo di risoluzione? Considero sempre la funzione $ \frac {e^{nsin \frac{1}{n}}}{n} $ anche se compare $ x^{2n} $?
Oppure effettuo una sostituzione $ z=x^2 $ e studio la convergenza della serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{nsin \frac{1}{n}}}{n}z^{n} $?
Risposte
La seconda! 
Ok effettuando la sostituzione e applicando il criterio della radice ottengo:
$ \lim_{n \to \infty} \frac {e^{sin \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} = 1$
Quindi $ R=1 $ raggio di convergenza e $ (-1,1) $ intervallo di convergenza. Adesso devo ripassare alla variabile $ x $ e avrei:
$ x= \pm \sqrt{z } $
Ma come faccio a riscrivere gli estremi in funzione di $ x $?
$ \lim_{n \to \infty} \frac {e^{sin \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} = 1$
Quindi $ R=1 $ raggio di convergenza e $ (-1,1) $ intervallo di convergenza. Adesso devo ripassare alla variabile $ x $ e avrei:
$ x= \pm \sqrt{z } $
Ma come faccio a riscrivere gli estremi in funzione di $ x $?
Ho provato a risolverlo così, ma non ho le soluzioni e non so se il risultato a cui sono arrivato è corretto:
$ |z| < 1 $ quindi $|x|< \sqrt{1} $
Quindi l'intervallo di convergenza in funzione di $x$ sarà sempre $(-1,1)$
Se $x=1$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{nsin \frac{1}{n}}}{n} $
Utilizzando il confronto asintotico:
$ \frac{e^{nsin \frac{1}{n}}}{n} ~ \frac{e}{n} $
Dove si ha una serie armonica la quale diverge positivamente. Andando a sostituire $x=-1$ si perviene allo stesso risultato, quindi l'intervallo di convergenza è $ (-1,1) $
$ |z| < 1 $ quindi $|x|< \sqrt{1} $
Quindi l'intervallo di convergenza in funzione di $x$ sarà sempre $(-1,1)$
Se $x=1$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{nsin \frac{1}{n}}}{n} $
Utilizzando il confronto asintotico:
$ \frac{e^{nsin \frac{1}{n}}}{n} ~ \frac{e}{n} $
Dove si ha una serie armonica la quale diverge positivamente. Andando a sostituire $x=-1$ si perviene allo stesso risultato, quindi l'intervallo di convergenza è $ (-1,1) $
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