Studio convergenza serie di funzioni

[poncelet]

Sono in difficoltà con lo studio della convergenza per le serie di funzioni. A titolo di esempio avrei questa:

$sum_(n=0)^(oo)|x|^(nx)$

Devo studiare per quali $x\in RR$ converge. Il problema è che non so da dove cominciare. Nel senso che con le serie numeriche applico i criteri di convergenza ma alle funzioni mi sfugge come applicarli. Lo so che è grave

[Raptorista1]

Scegli dei valori [non a caso ma ragionati] per $x$ e vedi se ottieni serie convergenti o divergenti. Poi cerca di vedere se c'è una "regola" che in base alla $x$ ti dice se la serie converge o diverge.

[gugo82]

Quella serie si riconduce ad una serie di potenze con una sostituzione; fatto ciò hai praticamente finito.

Qualche informazione in più la trovi qui.

[poncelet]

Banalmente allora posso porre $f(x)=|x|^x$ per poi ottenere $sum_(n=0)^ooy^n$, studiarla come una semplice serie geometrica e successivamente determinare l'insieme di convergenza della serie iniziale?

[gugo82]

Già.

[Raptorista1]

Exactly..

[poncelet]

Ecco il mio svolgimento. Abbiamo che $sum_(n=0)^ooy^n$ converge puntualmente in $(-1,1)$. Devo quindi risolvere il sistema:

$\{(|x|^x> "-"1),(|x|^x<1):}$

ottenendo l'insieme di convergenza $D={x<-1 ^^ 00}$

[gugo82]

Sbaglia il libro: ad esempio [tex]$|x|^x\Big|_{x=2}=2^2=4>1$[/tex], quindi la serie [tex]\sum |x|^{nx}[/tex] non converge in [tex]$2$[/tex].

[poncelet]

Avevo fatto anche io la stessa prova. Quindi è giusto il mio risultato?

[gugo82]

Sì, senza dubbio.
La serie converge in [tex]$]-\infty, -1[\cup ]0,1[$[/tex].