Studio convergenza serie di funzioni
Salve a tutti,sono ai primi esercizi con lo studio della convergenza di serie di funzioni,qualcuno potrebbe dirmi se questo è corretto? $ sum_(n =1)^ ∞((3sqrt(n))(sqrtx-1)^n) /(2n-1) $
Dove $ a_n=(2sqrt(n))/(2n-1) $ e centro $ x_0=-1 $
Procede calcolando il Raggio di convergenza $ R $ con il criterio del rapporto $ lim n-> ∞=(a_(n+1))/(a_n)=1 $ quindi $ R=1 $.
Dunque la serie converge puntualmente per $ (x_o-R,x_o +R) $ $ =(-2,0) $ .
Andando a verificare agli estremi cosa succede per $ x=0 $
La serie diventa $ sum_(n =1 )^ ∞((3sqrt(n))(-1)^n)/(2n-1) $ che è una serie a segno alterno,così verifico la convergenza con il criterio di Leibniz:
essendo $ a_n>0 AA ninN $
verifico $ 1) $ che $ lim_(n-> ∞)a_n=0 $
e $ 2) $ che $ a_n $ è una successione decrescente,quindi $ a_(n+1)
Ora mi chiedevo se tutto questo ragionamento è giusto oppure no.
Ps:il caso in cui $ x=-2 $ non ho saputo continuare in quanto la serie diventa con radice di meno due...
Grazie !
Dove $ a_n=(2sqrt(n))/(2n-1) $ e centro $ x_0=-1 $
Procede calcolando il Raggio di convergenza $ R $ con il criterio del rapporto $ lim n-> ∞=(a_(n+1))/(a_n)=1 $ quindi $ R=1 $.
Dunque la serie converge puntualmente per $ (x_o-R,x_o +R) $ $ =(-2,0) $ .
Andando a verificare agli estremi cosa succede per $ x=0 $
La serie diventa $ sum_(n =1 )^ ∞((3sqrt(n))(-1)^n)/(2n-1) $ che è una serie a segno alterno,così verifico la convergenza con il criterio di Leibniz:
essendo $ a_n>0 AA ninN $
verifico $ 1) $ che $ lim_(n-> ∞)a_n=0 $
e $ 2) $ che $ a_n $ è una successione decrescente,quindi $ a_(n+1)
Ora mi chiedevo se tutto questo ragionamento è giusto oppure no.
Ps:il caso in cui $ x=-2 $ non ho saputo continuare in quanto la serie diventa con radice di meno due...
Grazie !
Risposte
perchè il centro dovrebbe essere in -1? e perchè a_n è quello che hai scritto tu? io sarei passato ad una serie di potenze in questo modo: $ sum(3sqrt(n))/(2n-1)y^n $ con $ y^n = sqrt(x)-1 $ per questo ti viene il -2 che non puoi risolvere. il raggio invece mi pare corretto. a questo punto impongo $ |sqrt(x)-1|<1 $ e trovo l'insieme di convergenza. (estremi da verificare)
"cooper":
perchè il centro dovrebbe essere in -1? e perchè a_n è quello che hai scritto tu? io sarei passato ad una serie di potenze in questo modo: $ sum(3sqrt(n))/(2n-1)y^n $ con $ y^n = sqrt(x)-1 $ per questo ti viene il -2 che non puoi risolvere. il raggio invece mi pare corretto. a questo punto impongo $ |sqrt(x)-1|<1 $ e trovo l'insieme di convergenza. (estremi da verificare)
Ok grazie,volevo chiederti solamente un altra cosa,se la serie converge puntualmente in $ (-1,1) $ per verificare cosa succede agli estremi devo sostituire questi valori alla $ y $ giusto?
no alla x. alla serie di partenza diciamo.. 
"cooper":
no alla x. alla serie di partenza diciamo..
E quindi a cosa è servito passare ad $ y=sqrt(x)-1 $ ? e poi come faccio se mi trovo il raggio di convergenza 1 quindi $ (-1,1) $
Se sostituisco mi troverei con $ sqrt(-1) $
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