Studio convergenza serie cotagente

[insule23]

salve avrei bisogno dl vostro aiuto con questo esercizio;

Studiare la convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty } \, cotg\, \left ( \frac{\pi }{2} -\frac{1}{n^{2}}\right )\, cos\left ( n!+5 \right )[/math]

Si tratta di una serie a segno variabile e quindi studiamo l'assoluta convergenza, ovvero la serie con i valori assoluti:

[math]\sum_{n=1}^{\infty } \left | \, cotg\, \left ( \frac{\pi }{2} -\frac{1}{n^{2}}\right )\, cos\left ( n!+5 \right ) \right |[/math]

ora però non sò che criterio applicare e come poterlo applicare..
se mi potete aiutare..
grazie..

[davi02]

Converge assolutamente per il criterio del confronto.
Per ogni

[math]n \ge 1[/math]

[math] \left| cotg(\frac{\pi}{2} − \frac{1}{n^2}) \cos(n! + 5) \right| =
tg(\frac{1}{n^2}) \left| \cos(n!+5) \right| \le
tg(\frac{1}{n^2}) \le
\frac{tg(1)}{n^2} [/math]

[insule23]

Potresti dirmi perchè scrivi la cotagente
come tangente....e perche hai eliminato il coseno.
Se mi puoi spiegare.
Sto impazzendo.. Non riesco a capire..
Se mi puoi aiutare..
Grazie..

[ciampax]

Vediamo di chiarire alcune cose: prima di tutto, la serie si può riscrivere come

[math]\sum_{n=1}^\infty \tan\frac{1}{n^2}\cdot \cos(n!+5)[/math]

questo perché vale la regola degli archi associati

[math]\cot(\pi/2-\alpha)=\tan\alpha[/math]

(e queste cose, insule, faresti meglio ad imparale prima o poi!)

Ora, la serie che viene fuori è chiaramente a segni non costanti (ma non alterni) e quindi l'unico modo per studiarla è passare a studiare quella dei valori assoluti. Poiché

[math]|\cos\alpha|\le 1[/math]

(per definizione) e dal momento che se

[math]0< \beta < 1[/math]

si ha pure [math]\tan\beta