Studio convergenza serie
Ciao ragazzi! Vorrei mostrarvi un esercizio che mi sta dando qualche problemino: si tratta di una serie, di cui bisogna dimostrare la convergenza o la divergenza tramite gli appositi criteri di convergenza ( a mia disposizione , ovvero sarebbero quelli studiati e applicabili , i seguenti : di confronto, di confronto asintotico, del rapporto, degli infinitesimi ).
Ecco il mio fallimentare tentativo risolutivo ( dico fallimentare perché la seconda richiesta dell'esercizio è calcolare una somma approssimata a meno di 1/200, ragion per cui, credo , la serie converga ) . In realtà non sono sicuro di quello che ho scritto, perciò, tra le righe, vi chiedo di chiarirmi il seguente dubbio: se esiste la somma approssimata di una serie, questo vuol dire che necessariamente converge? Oppure può esistere una somma approssimata anche di una serie divergente?
Vi mostro la mia risoluzione non andata a buon fine con il criterio degli infinitesimi, in quanto non saprei come gestire la funzione da sommare con il criterio di confronto o confronto asintotico ) così come con il criterio del rapporto, in quanto, facendo il limite, ottengo come risultato 1. Quando il limite della funzione da sommare viene 1 , il criterio del rapporto non fornisce alcuna informazione.
La serie è la seguente : $ sum 1/(n(4log^2n+1) ) $ ( da 1 a + infinito , quindi è a termine positivi )
Ecco con il criterio degli infinitesimi ( consiste nel calcolare, come primo passo, il limite a + infinito della funzione , in questo caso : $ 1/(n(4log^2n+1) ) $ , per $ n $ )
$ lim n to oo n 1/(n(4log^2n+1) ) $
Dopo alcuni passaggi ottengo che il limite è 0, quindi si prosegue facendo il limite della funzione per $ n^2 $ :
$ lim n to oo n^2 1/(n(4log^2n+1) ) $
Dopo alcuni passaggi ottengo che il limite è $ +oo $ , quindi per il criterio si prosegue calcolando il limite della funzione per $ n^(3/2) $
$ lim n to oo n^(3/2) 1/(n(4log^2n+1) ) $
Anche qui ottengo che il limite è $ +oo $ e dovrei continuare con il limite della funzione per $ n^(5/4) $ e così via.
E' evidente però che il limite continuerà a venirmi $ +oo $ , quindi con questo criterio non si giunge ad una conclusione a proposito della convergenza o divergenza della serie.
E' possibile giungere ad una conclusione magari con gli altri criteri di cui ho parlato, e magari io non ne sono capace?
N.B : Sto svolgendo esercizi dati agli appelli precedenti, in cui sono contenute anche serie studiabili tramite il Criterio degli Integrali, che però non abbiamo ancora affrontato, perciò potrebbe anche essere che solo con quel criterio si ottiene una risposta allo studio.
Spero qualcuno potrà aiutarmi, grazie!
Ecco il mio fallimentare tentativo risolutivo ( dico fallimentare perché la seconda richiesta dell'esercizio è calcolare una somma approssimata a meno di 1/200, ragion per cui, credo , la serie converga ) . In realtà non sono sicuro di quello che ho scritto, perciò, tra le righe, vi chiedo di chiarirmi il seguente dubbio: se esiste la somma approssimata di una serie, questo vuol dire che necessariamente converge? Oppure può esistere una somma approssimata anche di una serie divergente?
Vi mostro la mia risoluzione non andata a buon fine con il criterio degli infinitesimi, in quanto non saprei come gestire la funzione da sommare con il criterio di confronto o confronto asintotico ) così come con il criterio del rapporto, in quanto, facendo il limite, ottengo come risultato 1. Quando il limite della funzione da sommare viene 1 , il criterio del rapporto non fornisce alcuna informazione.
La serie è la seguente : $ sum 1/(n(4log^2n+1) ) $ ( da 1 a + infinito , quindi è a termine positivi )
Ecco con il criterio degli infinitesimi ( consiste nel calcolare, come primo passo, il limite a + infinito della funzione , in questo caso : $ 1/(n(4log^2n+1) ) $ , per $ n $ )
$ lim n to oo n 1/(n(4log^2n+1) ) $
Dopo alcuni passaggi ottengo che il limite è 0, quindi si prosegue facendo il limite della funzione per $ n^2 $ :
$ lim n to oo n^2 1/(n(4log^2n+1) ) $
Dopo alcuni passaggi ottengo che il limite è $ +oo $ , quindi per il criterio si prosegue calcolando il limite della funzione per $ n^(3/2) $
$ lim n to oo n^(3/2) 1/(n(4log^2n+1) ) $
Anche qui ottengo che il limite è $ +oo $ e dovrei continuare con il limite della funzione per $ n^(5/4) $ e così via.
E' evidente però che il limite continuerà a venirmi $ +oo $ , quindi con questo criterio non si giunge ad una conclusione a proposito della convergenza o divergenza della serie.
E' possibile giungere ad una conclusione magari con gli altri criteri di cui ho parlato, e magari io non ne sono capace?
N.B : Sto svolgendo esercizi dati agli appelli precedenti, in cui sono contenute anche serie studiabili tramite il Criterio degli Integrali, che però non abbiamo ancora affrontato, perciò potrebbe anche essere che solo con quel criterio si ottiene una risposta allo studio.
Spero qualcuno potrà aiutarmi, grazie!
Risposte
La serie $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\log^2 n}$ è convergente; puoi dimostrarlo usando il criterio di condensazione di Cauchy oppure il criterio integrale.
Grazie per la risposta, però purtroppo, come ho scritto nel mio post precedente, i criteri a disposizione ( quelli studiati e spiegati dal prof ) sono:
- Confronto
- Confronto Asintotico
- Rapporto
- Infinitesimi
- Integrale ( che però non ci ha ancora spiegato )
Quello di condensazione non lo studieremo proprio, quindi dimentichiamolo.
Non c'è sicuramente modo di affermare che la serie converge non usando però gli integrali?
- Confronto
- Confronto Asintotico
- Rapporto
- Infinitesimi
- Integrale ( che però non ci ha ancora spiegato )
Quello di condensazione non lo studieremo proprio, quindi dimentichiamolo.
Non c'è sicuramente modo di affermare che la serie converge non usando però gli integrali?
Nemmeno il criterio della radice? Chiedo perché di solito si fa a braccetto col rapporto.
Paola
Paola
prime_number:
Nemmeno il criterio della radice? Chiedo perché di solito si fa a braccetto col rapporto.
Paola
Purtroppo no, anche se ho letto qualcosa su wikipedia.
E' molto complesso il criterio dell'integrale? Se me lo spiegate in soldoni mi tolgo il pensiero, non mi via di lasciare l'esercizio in sospeso fino al ritorno del prof :-D
Edit: da quello che ho capito da wiki in inglese, si tratta di svolgere:
$ int_(n)^(oo ) 1/(n(4log^2n+1)) $
E vedere se è finito. Se esso è finito, allora la serie converge, altrimenti, se l'integrale diverge, allora anche la serie diverge.
Si però un attimo... che cavolo significa vedere se è un integrale è finito? Non ricordo di aver fatto niente di simile a liceo?!!?
Più semplicemente, studia la convergenza dell'integrale generalizzato
$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\log^2 x} dx$,
che puoi trattare senza problemi con la sostituzione $y = \log x$.
In altre parole, devi vedere se esiste finito il
$\lim_{b\to +\infty} \int_2^b \frac{1}{x\log^2 x} dx$
che, come dicevo, può essere calcolato esplicitamente con la sostituzione di cui sopra.
$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\log^2 x} dx$,
che puoi trattare senza problemi con la sostituzione $y = \log x$.
In altre parole, devi vedere se esiste finito il
$\lim_{b\to +\infty} \int_2^b \frac{1}{x\log^2 x} dx$
che, come dicevo, può essere calcolato esplicitamente con la sostituzione di cui sopra.
Devo darmi una rinfrescata sugli integrali, ma comunque il criterio dell'integrale dovrebbe spiegarcelo il prof di analisi a breve. Ho comunque inteso la strategia risolutiva.
Vi propongo una risoluzione di un altro esercizio analogo sullo studio di una serie, con mia risoluzione:
$ sum_(n = 1 ) ((3n-2)(3-2cosn))/n^2 $
Sono partito facendo considerazioni su $ cosn $ : sappiamo che
$ 1 <= 3-2cosn <= 5 $
Quindi una serie maggiorante( dico bene? ) è
$ 5sum_(n = 1) (3n-2)/n^2 $
Applicando il criterio degli infinitesimi, devo trovare il :
$ lim_(n -> oo) n(3n-2)/n^2 $
Ma $ 3n-2 ~~ 3n $
Quindi $ lim_(n -> oo) n(3n-2)/n^2 $ $ = lim_(n -> oo) (3n^2)/n^2 = 3 $
Dato che $ 3 > 0 $ , per il criterio degli infinitesimi la serie
$ 5sum_(n = 1) (3n-2)/n^2 $ Diverge.
Quindi, per il criterio del confronto, anche la serie iniziale diverge.
Sono nel giusto?
Vi propongo una risoluzione di un altro esercizio analogo sullo studio di una serie, con mia risoluzione:
$ sum_(n = 1 ) ((3n-2)(3-2cosn))/n^2 $
Sono partito facendo considerazioni su $ cosn $ : sappiamo che
$ 1 <= 3-2cosn <= 5 $
Quindi una serie maggiorante( dico bene? ) è
$ 5sum_(n = 1) (3n-2)/n^2 $
Applicando il criterio degli infinitesimi, devo trovare il :
$ lim_(n -> oo) n(3n-2)/n^2 $
Ma $ 3n-2 ~~ 3n $
Quindi $ lim_(n -> oo) n(3n-2)/n^2 $ $ = lim_(n -> oo) (3n^2)/n^2 = 3 $
Dato che $ 3 > 0 $ , per il criterio degli infinitesimi la serie
$ 5sum_(n = 1) (3n-2)/n^2 $ Diverge.
Quindi, per il criterio del confronto, anche la serie iniziale diverge.
Sono nel giusto?
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