Studio convergenza serie
Ho una domanda generica, supponiamo io abbia una serie $sum_(n=0)^(\infty)$ al cui interno compaiono diversi termini, tra cui uno dipendente da un valore $x\inRR$ elevato alla n, eccone qualche esempio:
$sum_(n=0)^(\infty)(2x-1)^(2n)/(9^(n+1)e^n)$
$sum_(n=0)^(\infty)1/((n^(1/2)+n^(3/2))(2x+11)^(2n+1))$
Posso porre il termine variabile uguale ad y, e studiare la serie che mi rimane con i criteri della radice o del rapporto? Ad esempio nei due casi precedenti dovrei studiare:
$sum_(n=0)^(\infty)1/(9^(n+1)e^n)$
$sum_(n=0)^(\infty)1/((n^(1/2)+n^(3/2)))$
E' corretto?
$sum_(n=0)^(\infty)(2x-1)^(2n)/(9^(n+1)e^n)$
$sum_(n=0)^(\infty)1/((n^(1/2)+n^(3/2))(2x+11)^(2n+1))$
Posso porre il termine variabile uguale ad y, e studiare la serie che mi rimane con i criteri della radice o del rapporto? Ad esempio nei due casi precedenti dovrei studiare:
$sum_(n=0)^(\infty)1/(9^(n+1)e^n)$
$sum_(n=0)^(\infty)1/((n^(1/2)+n^(3/2)))$
E' corretto?
Risposte
Direi di no. La $x$ è un parametro. Voglio dire che essa, variando in $RR$, determina un insieme di serie distinte... Di solito si chiede quali tra queste serie convergono...
La questione si può dirimere così: si risolva la serie con il criterio del rapporto, considerando $x$ alla stregua di un numero... Si ottiene un'espressione in $x$... Imponendo che tale espressione sia strettamente minore di $1$ (in valore assoluto) si ha la conclusione voluta (vale a dire un sottoinsieme $S$ di $RR$ tale che, $AA x in S$ si ha che la serie associata converge...)
La questione si può dirimere così: si risolva la serie con il criterio del rapporto, considerando $x$ alla stregua di un numero... Si ottiene un'espressione in $x$... Imponendo che tale espressione sia strettamente minore di $1$ (in valore assoluto) si ha la conclusione voluta (vale a dire un sottoinsieme $S$ di $RR$ tale che, $AA x in S$ si ha che la serie associata converge...)
"Dorian":
Direi di no. La $x$ è un parametro. Voglio dire che essa, variando in $RR$, determina un insieme di serie distinte... Di solito si chiede quali tra queste serie convergono...
La questione si può dirimere così: si risolva la serie con il criterio del rapporto, considerando $x$ alla stregua di un numero... Si ottiene un'espressione in $x$... Imponendo che tale espressione sia strettamente minore di $1$ (in valore assoluto) si ha la conclusione voluta (vale a dire un sottoinsieme $S$ di $RR$ tale che, $AA x in S$ si ha che la serie associata converge...)
Scusami, sono stato poco chiaro io, intendevo proprio quello. Studio le due serie che mi son derivato con il criterio del rapporto o della radice, poi una volta concluso faccio quello che dici tu e studio cosa succede al variare di x. Effetivamente avevo omesso il dopo
Nel caso la serie sia questa $sum_(k=1)^(\infty)(3x+2/(k+2))^(3k+2)$ come posso separare le componenti per studiarla nel modo di cui si discuteva prima?
Direi che si può usare il criterio della radice... Si deve quindi studiare il
$lim_(k->+oo) (3x+2/(k+2))^((3k+2)/k)$
e dire per quali $x in RR$ è (in modulo) strettamente minore di $1$... si trova che:
$x in $ ]$ -1/3,1/3 $[
$lim_(k->+oo) (3x+2/(k+2))^((3k+2)/k)$
e dire per quali $x in RR$ è (in modulo) strettamente minore di $1$... si trova che:
$x in $ ]$ -1/3,1/3 $[
Scusami, sbaglio io o manca un'esponente? Ovvero $3$, oppure questo viene ignorato?
"enigmagame":
Scusami, sbaglio io o manca un'esponente? Ovvero $3$, oppure questo viene ignorato?
Errore mio. Infatti:
$lim_(k->+oo) (3k+2)/k=3$...
Non si può ignorare questo...
Domando scusa per la svista... Comunque spero che il metodo sia chiaro...
Si, è chiaro, ma ciò (l'esponente) cambia qualcosa nel risultato da te postato?
"enigmagame":
Scusami, sbaglio io o manca un'esponente? Ovvero $3$, oppure questo viene ignorato?
Richiedo scusa. No, non manca l'esponente... Ne ho tenuto conto, come puoi verificare...
Diciamo anche che se al posto di $3$ ci fosse stato un qualsiasi esponente naturale dispari, il campo di convergenza non sarebbe variato...
"Dorian":
Richiedo scusa. No, non manca l'esponente... Ne ho tenuto conto, come puoi verificare...
Diciamo anche che se al posto di $3$ ci fosse stato un qualsiasi esponente naturale dispari, il campo di convergenza non sarebbe variato...
Mi perdo io... Allora, deve essere che $|3x|<1$ e da ciò risulta che il campo di convergenza è quello da tè scritto. Ma non capisco dove va a finire l'esponente, non dovrebbe essere $3x^3$?
"Dorian":
Richiedo scusa. No, non manca l'esponente... Ne ho tenuto conto, come puoi verificare...
Diciamo anche che se al posto di $3$ ci fosse stato un qualsiasi esponente naturale dispari, il campo di convergenza non sarebbe variato...
Mi perdo io... Allora, deve essere che $|3x|<1$ e da ciò risulta che il campo di convergenza è quello da tè scritto. Ma non capisco dove va a finire l'esponente, non dovrebbe essere $3x^3$?
$lim_(k->+oo) (3x+2/(k+2))^((3k+2)/k)=27x^3$
mamma mia scusami, distrazione mia...Grazie!
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