Studio convergenza serie
salve avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Studiare la convergenza della serie
$\sum_{n=1}^{\infty }( \frac{n^2+sin(n)}{n^3+3n+arctan(n)} )( 1-cos\frac{1}{n^{\frac{3}{4}}} )$
grazie..
Studiare la convergenza della serie
$\sum_{n=1}^{\infty }( \frac{n^2+sin(n)}{n^3+3n+arctan(n)} )( 1-cos\frac{1}{n^{\frac{3}{4}}} )$
grazie..
Risposte
Da regolamento, dovresti fornire una tua idea prima di tutto...
Sappiamo che il termine generale della serie è definitivamente positivo...
poi ho considerato che:
(n^2+ sin(n))/(n^3 + 3n+ arctan(n)) è asintoticamente equivalente a 1/n
mi potresti aiutare a continuare.. sto andando in crisi..
grazie
poi ho considerato che:
(n^2+ sin(n))/(n^3 + 3n+ arctan(n)) è asintoticamente equivalente a 1/n
mi potresti aiutare a continuare.. sto andando in crisi..
grazie
A cosa è asintoticamente equivalente $1-\cos t$ quando $t\to 0$?
è equivalente a $1/2 t^2$
ma è corretto il post che ho scritto prima...
mi puoi ricapitolare il tutto
sto impazzendo...
grazie
ma è corretto il post che ho scritto prima...
mi puoi ricapitolare il tutto
sto impazzendo...
grazie
"ivandimeo":
è equivalente a $1/2 t^2$
Esatto.
"ivandimeo":
ma è corretto il post che ho scritto prima...
Sì.
"ivandimeo":
mi puoi ricapitolare il tutto
sto impazzendo...
Per così poco...
Guarda che hai quasi finito: devi solo usare le approssimazioni che hai trovato per i due fattori in modo da trovare un'approssimazione per gli addendi della serie, ed applicare il criterio del confronto asintotico.
Come diceva gugo: per il primo fattore trovi l'equivalenza con $1/n$
Per il termine con il coseno, trovi l'equivalenza con $t^2/2$ e ti basta ricordare che in questo caso $t=...$
Se alla fine combini (moltiplichi) le due cose tra loro, otterrai che il termine generale è equivalente ad un del tipo ..... e quindi puoi concludere che la serie ......... perché .............
Per il termine con il coseno, trovi l'equivalenza con $t^2/2$ e ti basta ricordare che in questo caso $t=...$
Se alla fine combini (moltiplichi) le due cose tra loro, otterrai che il termine generale è equivalente ad un del tipo ..... e quindi puoi concludere che la serie ......... perché .............
allora correggetemi se sbaglio...
abbiamo quindi che per il temine coseno si ha che è asintoticamente equivalente a :
$\frac{1}{2\ ( n^{\frac{3}{4}} )^{2}}$
In definitiva il termine generale della serie è asintoticamente equivalente a
$\frac{1}{2 n^{\frac{5}{2}}} $
Poiché la serie
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2 n^{\frac{5}{2}}} $
converge allora converge anche la serie di partenza..
è giusto fatemi sapere..
abbiamo quindi che per il temine coseno si ha che è asintoticamente equivalente a :
$\frac{1}{2\ ( n^{\frac{3}{4}} )^{2}}$
In definitiva il termine generale della serie è asintoticamente equivalente a
$\frac{1}{2 n^{\frac{5}{2}}} $
Poiché la serie
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2 n^{\frac{5}{2}}} $
converge allora converge anche la serie di partenza..
è giusto fatemi sapere..
Sì, corretto.
ok grazie
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