Studio convergenza integrali impropri
Salve.
Da premettere che la mia è una domanda generale , per fare chiarezza su questo argomento.. vengo al dunque:
quando devo studiare la convergenza ( o meno ) di un integrale improprio , quale ordine dovrei seguire ? Nel senso , come faccio a capire quale criterio è più opportuno utilizzare a seconda dei casi?
Un esempio ( anche elementare , se non chiedo troppo ) sarebbe apprezzatissimo e di grande aiuto .
Vi ringrazio in anticipo
Da premettere che la mia è una domanda generale , per fare chiarezza su questo argomento.. vengo al dunque:
quando devo studiare la convergenza ( o meno ) di un integrale improprio , quale ordine dovrei seguire ? Nel senso , come faccio a capire quale criterio è più opportuno utilizzare a seconda dei casi?
Un esempio ( anche elementare , se non chiedo troppo ) sarebbe apprezzatissimo e di grande aiuto .
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Diciamo che, per prima cosa, va guardato il dominio della funzione per appurare se essa presenta o meno punti di eventuale discontinuità all'interno dell'intervallo di integrazione. Fatto questo, vanno affrontati in due modi differenti (anche se il procedimento segue la stessa filosofia) i casi in cui il problema sia un punto finito o un punto all'infinito.
Se il punto è finito, diciamo
e usando a questo punti il fatto che in generale un integrale del tipo
[math]\int_{x_0}^a\frac{1}{(x-x_0)^\alpha}\ dx
Se il punto è finito, diciamo
[math]x_0[/math]
, esso può presentarsi o come estremo di integrazione o come punto interno all'intervallo di integrazione. Cosa fare: in generale cercare di capire come si comporta la funzione [math]f(x)[/math]
in un intorno di tale punto, determinandone il suo ordine di infinito. A tal fine, si trova il valore [math]\alpha>0[/math]
per il quale[math]f(x)\sim\frac{1}{(x-x_0)^\alpha}[/math]
e usando a questo punti il fatto che in generale un integrale del tipo
[math]\int_{x_0}^a\frac{1}{(x-x_0)^\alpha}\ dx
Ti ringrazio per la risposta , molto chiara
Continuo però a non capire quando è opportuno utilizzare il primo criterio del confronto..
Ci sono casi particolari che mi indicano di utilizzare questo criterio?
Aggiunto 1 ora 40 minuti più tardi:
Avrei anche un' ultimissima domanda: come mai , per quanto riguarda l' integrale improprio di sen(x)/x , ( con estremi di integrazione 1 e +infinito)
non va bene usare direttamente il criterio del confronto? ( ma bisogna , prima , integrare la funzione per parti ) ..
Continuo però a non capire quando è opportuno utilizzare il primo criterio del confronto..
Ci sono casi particolari che mi indicano di utilizzare questo criterio?
Aggiunto 1 ora 40 minuti più tardi:
Avrei anche un' ultimissima domanda: come mai , per quanto riguarda l' integrale improprio di sen(x)/x , ( con estremi di integrazione 1 e +infinito)
non va bene usare direttamente il criterio del confronto? ( ma bisogna , prima , integrare la funzione per parti ) ..
La prima domanda non l'ho capita.
Per la seconda: quella funzione non è integrabile e non hai bisogno di fare nessuna integrazione a priori. Osserva che l'unico problema ce l'hai per
Per la seconda: quella funzione non è integrabile e non hai bisogno di fare nessuna integrazione a priori. Osserva che l'unico problema ce l'hai per
[math]x\to+\infty[/math]
, sul quale puoi ragionare così: dal momento che [math]-1\le\sin x\le 1[/math]
, all'infinito [math]\frac{\sin x}{x}\sim\frac{c}{x}[/math]
, con [math]c\in[-1,1][/math]
costante arbitraria. Visto che [math]1/x[/math]
non è integrabile, hai concluso.
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