Studio convergenza integrali
Ho i due seguenti integrali per i quali quali devo trovare i valori di [tex]\beta[/tex] affinchè risultano convergenti, praticamente devo studiare la convergenza dell'integrale, però avrei dei dubbi. Iniziamo dal primo integrale:
[tex]\int_{1}^{\infty }\frac{logx}{(x-1)^\beta}dx[/tex]
Quindi essendo [tex]1[/tex] escluso dal dominio ma compreso nell'intervallo di integrazione devo andare a fare il limite per [tex]x[/tex] che tende a [tex]1^+[/tex] e a [tex]∞[/tex]. Pertanto:
[tex]\lim_{x\to 1^+} \frac{logx}{(x-1)^\beta} = \frac{(x-1)(1+o(1))}{(x-1)^\beta} = \frac{1}{(x-1)^{\beta-1}(1+o(1))}[/tex]
quindi [tex]\beta - 1 < 1[/tex] pertanto [tex]\beta < 2[/tex]
Per risolvere il limite ho utilizzato una variabile di supporto [tex]t = x-1[/tex]
Ora vado a fare [tex]x[/tex] che tende a [tex]∞[/tex] quindi:
[tex]\lim_{x\to\infty} \frac{logx}{(x-1)^\beta} = \frac{logx}{x^\beta(1+o(1))}[/tex]
A questo punto avrei dei dubbi, cioè io sono andato a vedere il [tex]\beta[/tex] anche se al numeratore ho [tex]logx[/tex] quindi per la convergenza ottengo [tex]\beta > 1[/tex] però in teoria al numeratore avrei una funzione che tende a [tex]\infty[/tex] e pertanto non sapevo come comportarmi. È comunque giusto andare a vedere il [tex]\beta[/tex] al numeratore anche se sopra ho una funzione che tende a [tex]\infty[/tex]?
Mentre il secondo integrale del quale devo studiare la convergenza è:
[tex]\int_{3}^{+\infty }\frac{e^{-x}}{(x-3)^{\beta}\sqrt{x}}dx[/tex]
Quindi:
[tex]\lim_{x\to3^+} \frac{e^{-x}}{(x-3)^{\beta}\sqrt{x}} = \frac{e^{-3}}{(x-3)^{\beta}\sqrt{3}}[/tex]
quindi abbiamo la convergenza per [tex]\beta < 1[/tex]
mentre per [tex]x[/tex] che tende a [tex]\infty[/tex]:
[tex]\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{-x}}{(x-3)^{\beta}\sqrt{x}} = \frac{e^{-x}}{(x)^{\beta+1/2}(1+o(1))} = o(\frac{1}{x^2})[/tex]
quindi [tex]\beta\in R[/tex]
Non ho capito perchè [tex]\frac{e^{-x}}{(x)^{\beta+1/2}(1+o(1))} = o(\frac{1}{x^2})[/tex] come si arriva a questo risultato?
In teoria al numeratore ho una funzione che per [tex]x[/tex] che tende a [tex]+\infty[/tex] tende a [tex]0[/tex] quindi avrei [tex]0[/tex] al numeratore e non saprei come studiare la convergenza visto che devo ritrovarmi la seguente forma:
[tex]\frac{1}{x^{\beta}}[/tex]
Per porre [tex]\beta[/tex] [tex]>1[/tex] o [tex]\beta<1[/tex] a seconda dei casi.
[tex]\int_{1}^{\infty }\frac{logx}{(x-1)^\beta}dx[/tex]
Quindi essendo [tex]1[/tex] escluso dal dominio ma compreso nell'intervallo di integrazione devo andare a fare il limite per [tex]x[/tex] che tende a [tex]1^+[/tex] e a [tex]∞[/tex]. Pertanto:
[tex]\lim_{x\to 1^+} \frac{logx}{(x-1)^\beta} = \frac{(x-1)(1+o(1))}{(x-1)^\beta} = \frac{1}{(x-1)^{\beta-1}(1+o(1))}[/tex]
quindi [tex]\beta - 1 < 1[/tex] pertanto [tex]\beta < 2[/tex]
Per risolvere il limite ho utilizzato una variabile di supporto [tex]t = x-1[/tex]
Ora vado a fare [tex]x[/tex] che tende a [tex]∞[/tex] quindi:
[tex]\lim_{x\to\infty} \frac{logx}{(x-1)^\beta} = \frac{logx}{x^\beta(1+o(1))}[/tex]
A questo punto avrei dei dubbi, cioè io sono andato a vedere il [tex]\beta[/tex] anche se al numeratore ho [tex]logx[/tex] quindi per la convergenza ottengo [tex]\beta > 1[/tex] però in teoria al numeratore avrei una funzione che tende a [tex]\infty[/tex] e pertanto non sapevo come comportarmi. È comunque giusto andare a vedere il [tex]\beta[/tex] al numeratore anche se sopra ho una funzione che tende a [tex]\infty[/tex]?
Mentre il secondo integrale del quale devo studiare la convergenza è:
[tex]\int_{3}^{+\infty }\frac{e^{-x}}{(x-3)^{\beta}\sqrt{x}}dx[/tex]
Quindi:
[tex]\lim_{x\to3^+} \frac{e^{-x}}{(x-3)^{\beta}\sqrt{x}} = \frac{e^{-3}}{(x-3)^{\beta}\sqrt{3}}[/tex]
quindi abbiamo la convergenza per [tex]\beta < 1[/tex]
mentre per [tex]x[/tex] che tende a [tex]\infty[/tex]:
[tex]\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{-x}}{(x-3)^{\beta}\sqrt{x}} = \frac{e^{-x}}{(x)^{\beta+1/2}(1+o(1))} = o(\frac{1}{x^2})[/tex]
quindi [tex]\beta\in R[/tex]
Non ho capito perchè [tex]\frac{e^{-x}}{(x)^{\beta+1/2}(1+o(1))} = o(\frac{1}{x^2})[/tex] come si arriva a questo risultato?
In teoria al numeratore ho una funzione che per [tex]x[/tex] che tende a [tex]+\infty[/tex] tende a [tex]0[/tex] quindi avrei [tex]0[/tex] al numeratore e non saprei come studiare la convergenza visto che devo ritrovarmi la seguente forma:
[tex]\frac{1}{x^{\beta}}[/tex]
Per porre [tex]\beta[/tex] [tex]>1[/tex] o [tex]\beta<1[/tex] a seconda dei casi.
Risposte
Ciao!
Per il primo integrale devi ricordarti una regolina (la dimostrazione di solito c'è sui libri...):
$int_(1)^(+infty)1/{x^betalog^alphax}$ converge all'infinito per $beta >1, AAalpha$ e per $beta=1, alpha>1$; diverge per $beta<1, AAalpha$ e per $beta=1, alpha<1 $
(non mi ricordo adesso il caso in cui sia alfa che beta sono uguali a 1...).
Nel tuo caso comunque puoi spostare il logaritmo al denominatore e ottieni l'esponente $alpha=-1$ quindi l'integrale converge a più infinito se $beta>1$.
Il logaritmo quindi influisce molto poco sul comportamento dell'integrale, devi considerarlo solo nel caso in cui l'esponente della x al denominatore sia 1.
Per il secondo integrale, invece, basta che porti $e^{-x}$ al denominatore e applichi la definizione di o piccolo:
$x->+infty : x^2/{e^x(x-3)^{beta+1/2}}~~x^2/{e^{x}x^{beta+1/2}}=x^{3/2-beta}/{e^{x}} $ che tende a zero per ogni valore di beta, perché qualunque potenza di x è un infinito di ordine inferiore a e^x.
(ho usato il simbolo $~~$ per dire "asintotico")
Per il primo integrale devi ricordarti una regolina (la dimostrazione di solito c'è sui libri...):
$int_(1)^(+infty)1/{x^betalog^alphax}$ converge all'infinito per $beta >1, AAalpha$ e per $beta=1, alpha>1$; diverge per $beta<1, AAalpha$ e per $beta=1, alpha<1 $
(non mi ricordo adesso il caso in cui sia alfa che beta sono uguali a 1...).
Nel tuo caso comunque puoi spostare il logaritmo al denominatore e ottieni l'esponente $alpha=-1$ quindi l'integrale converge a più infinito se $beta>1$.
Il logaritmo quindi influisce molto poco sul comportamento dell'integrale, devi considerarlo solo nel caso in cui l'esponente della x al denominatore sia 1.
Per il secondo integrale, invece, basta che porti $e^{-x}$ al denominatore e applichi la definizione di o piccolo:
$x->+infty : x^2/{e^x(x-3)^{beta+1/2}}~~x^2/{e^{x}x^{beta+1/2}}=x^{3/2-beta}/{e^{x}} $ che tende a zero per ogni valore di beta, perché qualunque potenza di x è un infinito di ordine inferiore a e^x.
(ho usato il simbolo $~~$ per dire "asintotico")
Ok ma non ho capito da dove viene fuori [tex]x^2[/tex], cioè nella funzione non compare..
Sì, scusa, forse sono stato un po' ermetico 
nell'ultimo passaggio volevo spiegarti la cosa dell'o piccolo, quindi ho applicato la definizione di o piccolo:
per $x -> +infty$ :
$f(x)=o(g(x)) <=> lim_(x -> +infty) {f(x)}/{g(x)}=0$
Nel tuo caso $f(x)= e^{-x}/{(x-3)^{beta}sqrt(x)} $ che all'infinito è asintotica a $ e^{-x}/{(x)^{beta+1/2}} = 1/{e^x(x)^{beta+1/2}} $
Invece $g(x)=1/{x^2}$
Applicando la definizione, quindi, trovi che:
$ lim_(x->+infty) {f(x)}/{g(x)} = lim_(x -> +infty)1/{e^x(x)^{beta+1/2}}1/{1/{x^2}} = lim_(x -> +infty)x^{2}/{e^x(x)^{beta+1/2}} = lim_(x->+infty)x^{(2-1/2-beta)}/{e^x} $ e questo limite vale zero per qualunque valore di Beta, perché, come ti dicevo, qualunque potenza di x è un infinito di ordine inferiore rispetto a e^x.
Quindi $f(x)= e^{-x}/{(x-3)^{beta}sqrt(x)} = o(1/[x^2]) AAbeta$
nell'ultimo passaggio volevo spiegarti la cosa dell'o piccolo, quindi ho applicato la definizione di o piccolo:
per $x -> +infty$ :
$f(x)=o(g(x)) <=> lim_(x -> +infty) {f(x)}/{g(x)}=0$
Nel tuo caso $f(x)= e^{-x}/{(x-3)^{beta}sqrt(x)} $ che all'infinito è asintotica a $ e^{-x}/{(x)^{beta+1/2}} = 1/{e^x(x)^{beta+1/2}} $
Invece $g(x)=1/{x^2}$
Applicando la definizione, quindi, trovi che:
$ lim_(x->+infty) {f(x)}/{g(x)} = lim_(x -> +infty)1/{e^x(x)^{beta+1/2}}1/{1/{x^2}} = lim_(x -> +infty)x^{2}/{e^x(x)^{beta+1/2}} = lim_(x->+infty)x^{(2-1/2-beta)}/{e^x} $ e questo limite vale zero per qualunque valore di Beta, perché, come ti dicevo, qualunque potenza di x è un infinito di ordine inferiore rispetto a e^x.
Quindi $f(x)= e^{-x}/{(x-3)^{beta}sqrt(x)} = o(1/[x^2]) AAbeta$
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