Studio convergenza integrale impegnativo
Si dica per quali $\lambda$ il seguente integrale converge:
$ int_(-1)^(+oo) (e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda)dx $
$ lim_(x -> -1^+)(e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda) $
$ (e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda) <= (e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(2))/((x+3)^5(x+1)^lambda(x+2)^lambda) $
$<= ( e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(2))/((x+3)(x+1)^lambda(x+2)^lambda) $
$ ( e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(2))/((x+3)(x+1)^lambda(x+2)^lambda)= O (1/(x+1)^lambda) $
$ int_(-1)^(a) 1/(x+1)^lambdadx $ converge per $\lambda<1$ dove $ain(-1+oo) $
$lim_(x -> +oo)(e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda) $
$ |(e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda)|<= |(e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(2))/((x+3)^5(x+1)^lambda(x+2)^lambda)| $
$=|(e^((3+1/x)/(2+1/x))*3^(lambda*x+1)*(2))/(x^5(1+3/x)^5x^lambda(1+1/x)^lambda*x^lambda(1+2/x)^lambda)| $
$= |(e^((3+1/x)/(2+1/x))*3^(lambda*x+1)*(2))/(x^(2lambda+5)(1+3/x)^5(1+1/x)^lambda*(1+2/x)^lambda)| $
$<= |(e^((3+1/x)/(2+1/x))*3^(lambda*x+1)*(2))/(x^(2lambda)(1+3/x)^5(1+1/x)^lambda*(1+2/x)^lambda)| $
$ (e^((3+1/x)/(2+1/x))*3^(lambda*x+1)*(2))/(x^(2lambda)(1+3/x)^5(1+1/x)^lambda*(1+2/x)^lambda)| = O (3^(lambdax)/x^(2lambda)) $
$ int_(a)^(+oo) 3^(lambdax)/x^(2lambda)dx $ da questo punto in poi mi blocco :
Sperando che il procedimento sia giusto come posso risolvere quest'ultimo integrale?
$ int_(-1)^(+oo) (e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda)dx $
$ lim_(x -> -1^+)(e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda) $
$ (e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda) <= (e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(2))/((x+3)^5(x+1)^lambda(x+2)^lambda) $
$<= ( e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(2))/((x+3)(x+1)^lambda(x+2)^lambda) $
$ ( e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(2))/((x+3)(x+1)^lambda(x+2)^lambda)= O (1/(x+1)^lambda) $
$ int_(-1)^(a) 1/(x+1)^lambdadx $ converge per $\lambda<1$ dove $ain(-1+oo) $
$lim_(x -> +oo)(e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda) $
$ |(e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(sin^2(x)+1))/((x+3)^5(x^2+3x+2)^lambda)|<= |(e^((3x+1)/(2x+1))*3^(lambda*x+1)*(2))/((x+3)^5(x+1)^lambda(x+2)^lambda)| $
$=|(e^((3+1/x)/(2+1/x))*3^(lambda*x+1)*(2))/(x^5(1+3/x)^5x^lambda(1+1/x)^lambda*x^lambda(1+2/x)^lambda)| $
$= |(e^((3+1/x)/(2+1/x))*3^(lambda*x+1)*(2))/(x^(2lambda+5)(1+3/x)^5(1+1/x)^lambda*(1+2/x)^lambda)| $
$<= |(e^((3+1/x)/(2+1/x))*3^(lambda*x+1)*(2))/(x^(2lambda)(1+3/x)^5(1+1/x)^lambda*(1+2/x)^lambda)| $
$ (e^((3+1/x)/(2+1/x))*3^(lambda*x+1)*(2))/(x^(2lambda)(1+3/x)^5(1+1/x)^lambda*(1+2/x)^lambda)| = O (3^(lambdax)/x^(2lambda)) $
$ int_(a)^(+oo) 3^(lambdax)/x^(2lambda)dx $ da questo punto in poi mi blocco :
Sperando che il procedimento sia giusto come posso risolvere quest'ultimo integrale?
Risposte
L'integrando è positivo in [tex]$]-1,+\infty[$[/tex] e si riscrive come:
[tex]$3e\ \frac{e^{\frac{x}{2x+1}} 3^{\lambda x} (\sin^2 x+1)}{(x+3)^2 (x+1)^\lambda (x+2)^\lambda}$[/tex],
ergo esso ha punti "problematici" nell'intervallo d'integrazione e tali punti sono: [tex]$-1$[/tex], [tex]$-\tfrac{1}{2}$[/tex] e [tex]$+\infty$[/tex].
Per [tex]$x\to -1^+$[/tex] (stiamo integrando in [tex]$]-1,+\infty[$[/tex]), l'integrando è infinito d'ordine [tex]$\lambda$[/tex] se [tex]$\lambda>0$[/tex] ed è dotato di limite finito se [tex]$\lambda \leq 0$[/tex]; quindi si ha integrabilità per [tex]$\lambda <1$[/tex].
Per [tex]$x\to (-\tfrac{1}{2})^-$[/tex] l'integrando è un infinito d'ordine infinitamente elevato per ogni [tex]$\lambda$[/tex], giacchè c'è un esponenziale al numeratore; mentre per [tex]$x\to (-\tfrac{1}{2})^+$[/tex] l'integrando è dotato di limite finito per ogni [tex]$\lambda$[/tex].
Per [tex]$x\to +\infty$[/tex] l'integrando è un infinito d'ordine infinitamente elevato se [tex]$\lambda >0$[/tex], un infinitesimo d'ordine [tex]$<2$[/tex] ma maggiore di ogni [tex]$p<2$[/tex] per [tex]$\lambda =0$[/tex], ed un infinitesimo d'ordine infinitamente elevato per [tex]$\lambda <0$[/tex].
Detto ciò, non c'è integrabilità per alcun valore di [tex]$\lambda$[/tex], perchè a sinistra del punto [tex]$-\tfrac{1}{2}$[/tex] l'integrando va troppo velocemente a [tex]$\infty$[/tex] per essere sommabile.
[tex]$3e\ \frac{e^{\frac{x}{2x+1}} 3^{\lambda x} (\sin^2 x+1)}{(x+3)^2 (x+1)^\lambda (x+2)^\lambda}$[/tex],
ergo esso ha punti "problematici" nell'intervallo d'integrazione e tali punti sono: [tex]$-1$[/tex], [tex]$-\tfrac{1}{2}$[/tex] e [tex]$+\infty$[/tex].
Per [tex]$x\to -1^+$[/tex] (stiamo integrando in [tex]$]-1,+\infty[$[/tex]), l'integrando è infinito d'ordine [tex]$\lambda$[/tex] se [tex]$\lambda>0$[/tex] ed è dotato di limite finito se [tex]$\lambda \leq 0$[/tex]; quindi si ha integrabilità per [tex]$\lambda <1$[/tex].
Per [tex]$x\to (-\tfrac{1}{2})^-$[/tex] l'integrando è un infinito d'ordine infinitamente elevato per ogni [tex]$\lambda$[/tex], giacchè c'è un esponenziale al numeratore; mentre per [tex]$x\to (-\tfrac{1}{2})^+$[/tex] l'integrando è dotato di limite finito per ogni [tex]$\lambda$[/tex].
Per [tex]$x\to +\infty$[/tex] l'integrando è un infinito d'ordine infinitamente elevato se [tex]$\lambda >0$[/tex], un infinitesimo d'ordine [tex]$<2$[/tex] ma maggiore di ogni [tex]$p<2$[/tex] per [tex]$\lambda =0$[/tex], ed un infinitesimo d'ordine infinitamente elevato per [tex]$\lambda <0$[/tex].
Detto ciò, non c'è integrabilità per alcun valore di [tex]$\lambda$[/tex], perchè a sinistra del punto [tex]$-\tfrac{1}{2}$[/tex] l'integrando va troppo velocemente a [tex]$\infty$[/tex] per essere sommabile.
Grazie mille!!! Avevo trascurato il valore di x che mi annullava il denominatore dell'esponente di e.
Classico trucco per fregare i pivellini. 
Infatti quelli meno attenti vanno a guardare solo il comportamento agli estremi d'integrazione, dimenticandosi totalmente di controllare le discontinuità nell'interno dell'intervallo d'integrazione.
Infatti quelli meno attenti vanno a guardare solo il comportamento agli estremi d'integrazione, dimenticandosi totalmente di controllare le discontinuità nell'interno dell'intervallo d'integrazione.
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