Studio convergenza di una serie
Ciao a tutti.
Sto facendo esercizi relativi allo studio della convergenza, assoluta e semplice, di una serie.
Mi sono imbattuto in questi due esercizi:
1) $ sum_(n = 1)^(+oo) (sin(n!))/(n^2+root(3)(n)) $
2) $ sum_(n = 2)^(+oo) (-1)^n/(log(n))((x+1)/(x-1))^n $ (al variare di x)
Allora, per quanto riguardo il primo ho provato a risolverlo in questo modo:
si tratta di una serie a segno variabile (non alterno) visto che $sin(n!)$ assume valori sia positivi che negativi non consecutivi.
Quindi, per studiarne la convergenza mi concentro sullo studio della convergenza assoluta:
$|(sin(n!))/(n^2+root(3)(n))| = (|sin(n!)|)/(n^2+root(3)(n))$
Posso poi utilizzare il criterio del confronto, eseguendo il confronto tramite una maggiorazione della serie. Infatti $|sin(n!)|$ può assumere valori che vanno da 0 a 1. Quindi:
$(|sin(n!)|)/(n^2+root(3)(n)) <= 1/(n^2+root(3)(n))$
Per il criterio del confronto asintotico abbiamo che:
$1/(n^2+root(3)(n)) ~ 1/(n^2)$
che è la serie armonica generalizzata di grado 2 e quindi converge.
Quindi, per il criterio del confronto, anche la serie dei moduli della serie di partenza converge. Ed essendo appunto al serie dei moduli, la convergenza è assoluta. Questa implica anche la convergenza semplice della serie di partenza.
La risoluzione così è corretta?
Per quanto riguarda la seconda, non so proprio da che parte iniziare.
Si tratta ovviamente di una serie a segno alterno, quindi si ha
$ sum_(n = 2)^(+oo) (1)/(log(n))((x+1)/(x-1))^n $
Ma da qui non so proprio schiodarmi. Come mi comporto con il logaritmo al denominatore?
Che criterio devo utilizzare?
Grazie mille in anticipo a chi avrà la voglia e il tempo di aiutarmi.
Sto facendo esercizi relativi allo studio della convergenza, assoluta e semplice, di una serie.
Mi sono imbattuto in questi due esercizi:
1) $ sum_(n = 1)^(+oo) (sin(n!))/(n^2+root(3)(n)) $
2) $ sum_(n = 2)^(+oo) (-1)^n/(log(n))((x+1)/(x-1))^n $ (al variare di x)
Allora, per quanto riguardo il primo ho provato a risolverlo in questo modo:
si tratta di una serie a segno variabile (non alterno) visto che $sin(n!)$ assume valori sia positivi che negativi non consecutivi.
Quindi, per studiarne la convergenza mi concentro sullo studio della convergenza assoluta:
$|(sin(n!))/(n^2+root(3)(n))| = (|sin(n!)|)/(n^2+root(3)(n))$
Posso poi utilizzare il criterio del confronto, eseguendo il confronto tramite una maggiorazione della serie. Infatti $|sin(n!)|$ può assumere valori che vanno da 0 a 1. Quindi:
$(|sin(n!)|)/(n^2+root(3)(n)) <= 1/(n^2+root(3)(n))$
Per il criterio del confronto asintotico abbiamo che:
$1/(n^2+root(3)(n)) ~ 1/(n^2)$
che è la serie armonica generalizzata di grado 2 e quindi converge.
Quindi, per il criterio del confronto, anche la serie dei moduli della serie di partenza converge. Ed essendo appunto al serie dei moduli, la convergenza è assoluta. Questa implica anche la convergenza semplice della serie di partenza.
La risoluzione così è corretta?
Per quanto riguarda la seconda, non so proprio da che parte iniziare.
Si tratta ovviamente di una serie a segno alterno, quindi si ha
$ sum_(n = 2)^(+oo) (1)/(log(n))((x+1)/(x-1))^n $
Ma da qui non so proprio schiodarmi. Come mi comporto con il logaritmo al denominatore?
Che criterio devo utilizzare?
Grazie mille in anticipo a chi avrà la voglia e il tempo di aiutarmi.
Risposte
posto $z=(x+1)/(x-1)$ ,la puoi vedere come una classica serie di potenze e determinarne il raggio di convergenza
"quantunquemente":
posto $z=(x+1)/(x-1)$ ,la puoi vedere come una classica serie di potenze e determinarne il raggio di convergenza
Mmm, non ho ben capito cosa intendi.
EDIT: andando a cercare serie di potenze, ho capito che non la conosco per un motivo: non ho trattato tale argomento nel mio corso di Analisi. Quindi dubito io debba procedere in tale modo (l'esercizio ci è stato assegnato dalla professoressa).
C'è altro modo per studiare la convergenza di tale serie?
va bene,allora poni sempre $z=(x+1)/(x-1)$ e studia direttamente la convergenza assoluta di questa serie di funzioni con il criterio del rapporto
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