Studio Convergenza di un Integrale improprio

[Dust1]

Ciao, ho provato a studiare la convergenza di questo integrale, ma non so se ho fatto giusto o meno:

$int_0^(+oo)(x^(beta^2-1)/(1+x^(3-beta)))$

Allora, io ho fatto nel seguente modo:
1) Spezzo l'integrale in una somma di 2 integrali in questo modo: $int_0^1(x^(beta^2-1)/(1+x^(3-beta))) + int_1^(+oo)(x^(beta^2-1)/(1+x^(3-beta)))$
2) In entrambi i casi devo studiare separatamente 2 sottocasi, ossia quando $3-beta>=0$ e $3-beta<0$ e faccio il confronto asintotico con l'infinito campione $1/(b-x)^alpha$ per la 1° parte dell'integrale(quello definito tra $0$ e $1$) e con l'infinitesimo campione $1/x^alpha$ per la 2° parte dell'integrale(ossia quello tra $1$ e $+oo$)

Come idea di svolgimento è esatta? Poi posterò il mio svolgimento così potrò far verificare l'esercizio! Ciao

[Dust1]

Nessuno mi sa dire se almeno il procedimento è corretto?

[Bartolomeo2]

scusa ma perchè spezzi l'integrale in 1?

[Dust1]

"Bartolomeo":scusa ma perchè spezzi l'integrale in 1?

Il "punto 1)" era stato suggerito a lezione... ma nemmeno io ho capito il perchè di questa decisione da parte del professore...

[Fioravante Patrone1]

non ho controllato i calcoli
ma in quanto a "spezzare" l'integrale, questo è richiesto dalla definizione di integrale improprio (quella elementare, basata sull'integrazione di Riemann)

detto questo, se hai dei problemi in $0$ (integranda illimitata in un intorno di $0$) e devi sapere se $\int_0^{oo}$ è definito, puoi "spezzarlo" in $1$, o in qualunque punto di tua scelta: $1/7$, $2006$, $\pi$... Se serve, si può sfruttare questa arbitrarietà della scelta per semplificarti qualche calcolo (immagina che la funzione integranda "contenga" ad esempio $!x-3|$. In questo caso potrebbe essere utile usare il punto $3$ per "spezzare" il dominio di integrazione)

ciao

[Dust1]

GRazie Fioravante. Avevo capito l'arbitrarietà riguardo alla scelta del punto in cui suddividere l'integrale di partenza in 2 integrali, ma la cosa che non mi spiego è il perchè farlo inquesto caso. Non mi sembra che in questo caso
$int_0^(+oo)(x^(beta^2-1)/(1+x^(3-beta)))$
ci siano problemi in $0$. Il problema non è solo $+oo$?
Chiaritemi questo dubbio, se potete, perchè altrimenti impazzisco..

[Camillo]

Se $ beta^2 -1 < 0 $ hai problema per $ x= 0 $.

[Fioravante Patrone1]

"Dust":
Chiaritemi questo dubbio, se potete, perchè altrimenti impazzisco..

ma và, esci e vatti a vedere un bel film, che è meglio
altre alternative, più piacevoli, le lascio alla tua immaginazione



$int_0^(+oo)(x^(beta^2-1)/(1+x^(3-beta)))$

$\beta^2 - 1$ è minore di zero per $\beta \in ]-1,1[$ e quindi la tua funzione integranda per questi valori va a $oo$ (visto che per questi valori di $\beta$ il denominatore va a zero per $x->0$)

al solito, s.e.o.

[Fioravante Patrone1]

sempre una bella gara, con Camillo

alla prossima ti batto!

buona domenica

[Dust1]

Grazie per l'aiuto, e grazie per l'idea, che credo prenderò in considerazione!!

[Camillo]

"Fioravante Patrone":sempre una bella gara, con Camillo

alla prossima ti batto!

Vedremo !!!
Buona domenica anche a te .

[Piera4]

$f(x)=1/(x^(1-beta^2)(1+x^(3-beta))$.
Per essere integrabile su (0,1), occorre che
$1-beta^2<1$, $-beta^2<0=>beta ne 0$.

Per essere integrabile su (1,+inf), occorre invece che
$1-beta^2+3-beta>1$
$-beta^2-beta+3>0$
$beta^2+beta-3<0=>(-1-sqrt13)/2 Le due condizioni devono valere contemporaneamente, pertanto l'integrale converge
per $(-1-sqrt13)/2

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[Dust1]

Ti ringrazio piera! Quindi alla fine non serviva allora fare la suddivisione nei 2 sottocasi per entrambi gli intervalli...