Studio convergenza di serie
Ragazzi non so proprio dove mettere mani in questa serie......mi potete aiustare???
$ sum <(-1)^(n+1) ((n cosx)/(n+1))^n> $
Innanzi tutto ho pensato che è una serie a segni alterni quindi mi conviene studiare la serie dei valori assoluti che quindi diventa così:
$ sum <((n cosx)/(n+1))^n> $
Poi secondo voi, è giusto se applico il criterio della radice in modo da vedere per quali valori converge???il mio dubbio era pure ma se applico il criterio della radice $cosx$ non è sempre compreso tra -1 ed 1????Quindi mi ritorna ad essere una serie a segni alterni???Che qualcuno mi aiuti per favore...
Che poi facendo il lim della radice ennesima mi viene $ lim_(n -> oo ) cosx $.......come lo dovrei studiare????
$ sum <(-1)^(n+1) ((n cosx)/(n+1))^n> $
Innanzi tutto ho pensato che è una serie a segni alterni quindi mi conviene studiare la serie dei valori assoluti che quindi diventa così:
$ sum <((n cosx)/(n+1))^n> $
Poi secondo voi, è giusto se applico il criterio della radice in modo da vedere per quali valori converge???il mio dubbio era pure ma se applico il criterio della radice $cosx$ non è sempre compreso tra -1 ed 1????Quindi mi ritorna ad essere una serie a segni alterni???Che qualcuno mi aiuti per favore...
Che poi facendo il lim della radice ennesima mi viene $ lim_(n -> oo ) cosx $.......come lo dovrei studiare????
Risposte
La serie dei valori assoluti è
[tex]$\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{n\cdot|\cos x|}{n+1}\right)^n$[/tex]
dal momento che il coseno può assumere, a seconda di $x$, segno positivo o negativo. Se applichi il criterio della radice a questa devi calcolare
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{n\cdot|\cos x|}{n+1}=|\cos x|$[/tex]
da cui puoi concludere che... (ricorda che [tex]$|\cos x|\le 1$[/tex]).
[tex]$\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{n\cdot|\cos x|}{n+1}\right)^n$[/tex]
dal momento che il coseno può assumere, a seconda di $x$, segno positivo o negativo. Se applichi il criterio della radice a questa devi calcolare
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{n\cdot|\cos x|}{n+1}=|\cos x|$[/tex]
da cui puoi concludere che... (ricorda che [tex]$|\cos x|\le 1$[/tex]).
quindi mettiamo il valore assoluto pure al cos x in modo che possa assumere solo valori positivi.....e poi visto che $-1<=cosx<=1$ posso dire che la x è compresa tra zero e pigreco giusto???quindi la serie converge solo per le x comprese in questo intervallo e quindi la serie dei valori assoluti converge e quindi la serie di partenza converge assolutamente solo per questi valori?????è giusto il mio ragionamento????comunque grazie mille=)
Ma che stai a dì? 
La condizione del criterio della radice afferma che la serie converge se il limite risulta minore di uno. Nel tuo caso il limite vale $|\cos x|$ che è minore 0 uguale ad 1 (ed è maggiore o uguale a zero). Ne segue che per [tex]$x\ne k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$[/tex] la serie dei valori assoluti converge e quindi c'è convergenza assoluta.
Ora devi analizzare i casi in cui [tex]$x=k\pi$[/tex] distinguendo quelli in cui $k$ è pari e quelli in cui $k$ è dispari, sostituendo tali valori nella serie orginale e vedendo che cosa viene fuori.
La condizione del criterio della radice afferma che la serie converge se il limite risulta minore di uno. Nel tuo caso il limite vale $|\cos x|$ che è minore 0 uguale ad 1 (ed è maggiore o uguale a zero). Ne segue che per [tex]$x\ne k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$[/tex] la serie dei valori assoluti converge e quindi c'è convergenza assoluta.Ora devi analizzare i casi in cui [tex]$x=k\pi$[/tex] distinguendo quelli in cui $k$ è pari e quelli in cui $k$ è dispari, sostituendo tali valori nella serie orginale e vedendo che cosa viene fuori.
pardon...... 
sa che avevo in testa.....ahahaha.....comunque ho capito tutto....grazie mille sei stato davvero gentilissimo......
sa che avevo in testa.....ahahaha.....comunque ho capito tutto....grazie mille sei stato davvero gentilissimo......
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