Studio continuità e derivabilità di una funzione
la funzione è molto semplice, fa parte di un esercizio piu articolato, ma ho qualche piccolo dubbio. per studiare la continuità di una funzione in un punto, devo vedere nei cosiddetti "punti critici" se il limite per x--> pto critico da destra e da sinistra sono uguali, altrimenti ci sarà un salto, punto angoloso etc.
ora la funzione che è definita per valori di x<=0:
[tex]|x+3|+\sqrt[3]{(x+2)^{2}}[/tex]
dove c'ha i punti critici? l'unica cosa che mi fa sospettare è il modulo, ma sicuramente ce ne saranno altri..
ora la funzione che è definita per valori di x<=0:
[tex]|x+3|+\sqrt[3]{(x+2)^{2}}[/tex]
dove c'ha i punti critici? l'unica cosa che mi fa sospettare è il modulo, ma sicuramente ce ne saranno altri..
Risposte
Non confondere continuità con derivabilità : non mettere sullo stesso piano il "salto " con il punto angoloso ...
Se c'è "salto " la funzione non è continua in quel punto e men che meno sarà derivabile.
Se c'è " punto angoloso " la funzione è continua ma non derivabile.
La funzione indicata è continua ovunque nel suo dominio fissato in $(-oo ,0]$.
Certamente in $x=-3 $ la funzione è continua ma non derivabile ( verificare ) e non è derivabile anche in un altro punto : deriva la componente relativa alla radice cubica e studiane il dominio.
Se c'è "salto " la funzione non è continua in quel punto e men che meno sarà derivabile.
Se c'è " punto angoloso " la funzione è continua ma non derivabile.
La funzione indicata è continua ovunque nel suo dominio fissato in $(-oo ,0]$.
Certamente in $x=-3 $ la funzione è continua ma non derivabile ( verificare ) e non è derivabile anche in un altro punto : deriva la componente relativa alla radice cubica e studiane il dominio.
Fai confusione tra continuità e derivabilità.
Se una funzione è continua vuol dire che:
$lim_(x->x_0^+)f(x)=lim_(x->x_0^-)f(x)=f(x_0), x_0 in D_(f(x))$
ciò significa che la funzione deve essere definita in un punto affinchè possa essere continua.
Una funzione è continua in un certo intervallo se lo è in tutti i punti appartenenti a tale intervallo e deve essere definita in tale intervallo.
Inoltre devi ricordati alcuni teoremi quali:
sono continue le funzioni razionali, irrazionali, logaritmiche, esponenziali e goniometriche e tutte le loro combinazioni lineari.
La funzione da te portata ad esempio è continua su tutto il suo dominio perchè somma di funzioni continue.
Altro discorso per la derivabilità, quella funzione presenta sicuramente un punto di non derivabilità in $x=-3$, in particolare un punto angoloso, e avrà un altro punto di non derivabilità in $x=-2$, se non sbaglio una cuspide.
Scusate, ma il dominio di tale funzione non è $RR$??
Se una funzione è continua vuol dire che:
$lim_(x->x_0^+)f(x)=lim_(x->x_0^-)f(x)=f(x_0), x_0 in D_(f(x))$
ciò significa che la funzione deve essere definita in un punto affinchè possa essere continua.
Una funzione è continua in un certo intervallo se lo è in tutti i punti appartenenti a tale intervallo e deve essere definita in tale intervallo.
Inoltre devi ricordati alcuni teoremi quali:
sono continue le funzioni razionali, irrazionali, logaritmiche, esponenziali e goniometriche e tutte le loro combinazioni lineari.
La funzione da te portata ad esempio è continua su tutto il suo dominio perchè somma di funzioni continue.
Altro discorso per la derivabilità, quella funzione presenta sicuramente un punto di non derivabilità in $x=-3$, in particolare un punto angoloso, e avrà un altro punto di non derivabilità in $x=-2$, se non sbaglio una cuspide.
Scusate, ma il dominio di tale funzione non è $RR$??
quando x=-3 posso dire senza studiare limiti e niente che c'è un punto angoloso (rifacendomi al |x| direttamente)?
poi mi stai dicendo di fare la derivata di [/tex]\sqrt[3]{(x+2)^{2}}[/tex] ?
mi viene che in x=-2 il denominatore si annulla. noto comunque che bastava imporre che la quantità sotto radice !=0, o è solo un caso fortuito che questa volta è così?
EDIT: perche dite che faccio confusione tra continuità e derivabilità? dal titolo o da qualche cosa che ho scritto nel post? perche se è dal titolo l'ho scritto in riferimento al testo in esame, che chiedeva di studiare entrambe le cose su una funzione !
poi mi stai dicendo di fare la derivata di [/tex]\sqrt[3]{(x+2)^{2}}[/tex] ?
mi viene che in x=-2 il denominatore si annulla. noto comunque che bastava imporre che la quantità sotto radice !=0, o è solo un caso fortuito che questa volta è così?
EDIT: perche dite che faccio confusione tra continuità e derivabilità? dal titolo o da qualche cosa che ho scritto nel post? perche se è dal titolo l'ho scritto in riferimento al testo in esame, che chiedeva di studiare entrambe le cose su una funzione !
sorvolando sull'uso scorretto che hai fatto del termine "punto critico", con cui intendevi "punto all'estremo del dominio", che quella funzione sia continua è ovvio, perchè somma di funzioni continue. quindi per ogni punto $x_0 <= 0$ varrà $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0) $.
semmai ti devi chiedere se la funzione è continua in 0: penso l'avranno definita anche per valori positivi di x, se posti l'esercizio completo possiamo aiutarti meglio.
fai confusione tra derivabilità e continuità perchè per studiare la continuità ti domandi l'andamento della funzione nell'intorno di x = -3.. invece devi chiedertelo quando studi la funzione derivata. nei punti angolosi, come dicevano sopra, la funzione è continua mentre la derivata non è definita.
semmai ti devi chiedere se la funzione è continua in 0: penso l'avranno definita anche per valori positivi di x, se posti l'esercizio completo possiamo aiutarti meglio.
fai confusione tra derivabilità e continuità perchè per studiare la continuità ti domandi l'andamento della funzione nell'intorno di x = -3.. invece devi chiedertelo quando studi la funzione derivata. nei punti angolosi, come dicevano sopra, la funzione è continua mentre la derivata non è definita.
semmai ti devi chiedere se la funzione è continua in 0: penso l'avranno definita anche per valori positivi di x, se posti l'esercizio completo possiamo aiutarti meglio.
sisi, la continuità in zero l'ho verificata già (c'era un'altra funzione per x>0).
quindi mi manca di studiare la derivabilità in -3 e -2 facendo il limite destro e sinistro per x-->-2 e -3 della funzione derivata?
scrivi la funzione completa e poi vediamo
allora la parte definita per x<=0 è quella nel primo post.
per x>0 è
[tex]\frac{log(1+4x)}{2x}[/tex]
per x>0 è
[tex]\frac{log(1+4x)}{2x}[/tex]
La funzione non è continua in $x=0 $ perchè $f(0)=3+4^(1/3) $ mentre $lim_( x rarr 0^(+)) f(x)=2 $.
"Camillo":
La funzione non è continua in $x=0 $ perchè $f(0)=3+4^(1/3) $ mentre $lim_( x rarr 0^(+)) f(x)=2 $.
sisi, questa parte già l'avevo fatta, ho trovato difficoltà solo nel punto dello studio della derivabilità!
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