Studio continuità di una funzione
salve a tutti ho la seguente funzione:
$\beta ( (x+1)^(1/3)/(sinh(x+1)))$ se x∈ ]-∞,-1[
$\alpha ((lnx^2)/(x-1))$ se x∈ ]-1,1[
$ln(x^2+(x-1)^(1/2))$ se x∈ ]1,+∞[
devo trovare le coppie ($\alpha,\beta$) in R per le quali essa risulta continua in x=1 e x=-1. per le rimanenti coppie si deve dire il tipo di discontinuità.
solitamente io calcolo il limite dove non c'è il parametro e impongo che il limite della parte con il parametro sia lo stesso, così mi ricavo il valore del parametro e ho pensato di fare lo stesso qua partendo dal basso e arrivando al primo limite.
il problema è che la terza parte mi è risultata 0(per x->1) e la seconda mi è risultata 0 (x->1) per qualsiasi $\alpha$
così come il primo limite per x->-1 mi risulta +∞ per qualsiasi $\beta$
allora non ho capito che devo fare, mi aiutate per favore?
grazie
ps scusate non sono riuscita a mettere la parentesi graffa per racchiudere le definizioni
$\beta ( (x+1)^(1/3)/(sinh(x+1)))$ se x∈ ]-∞,-1[
$\alpha ((lnx^2)/(x-1))$ se x∈ ]-1,1[
$ln(x^2+(x-1)^(1/2))$ se x∈ ]1,+∞[
devo trovare le coppie ($\alpha,\beta$) in R per le quali essa risulta continua in x=1 e x=-1. per le rimanenti coppie si deve dire il tipo di discontinuità.
solitamente io calcolo il limite dove non c'è il parametro e impongo che il limite della parte con il parametro sia lo stesso, così mi ricavo il valore del parametro e ho pensato di fare lo stesso qua partendo dal basso e arrivando al primo limite.
il problema è che la terza parte mi è risultata 0(per x->1) e la seconda mi è risultata 0 (x->1) per qualsiasi $\alpha$
così come il primo limite per x->-1 mi risulta +∞ per qualsiasi $\beta$
allora non ho capito che devo fare, mi aiutate per favore?
grazie
ps scusate non sono riuscita a mettere la parentesi graffa per racchiudere le definizioni
Risposte
Secondo me la prima funzione ha come limite, per $x\to-1^-$
$+\infty$ se $b>0$
$-\infty$ se $b<0$
$0$ se $b=0$
non credi? E un ragionamento analogo vale per la seconda.
$+\infty$ se $b>0$
$-\infty$ se $b<0$
$0$ se $b=0$
non credi? E un ragionamento analogo vale per la seconda.
ok il primo l'ho capito grazie 
ma per il secondo limite, che alfa sia positiva o negativa il limite non fa sempre zero?
ma per il secondo limite, che alfa sia positiva o negativa il limite non fa sempre zero?
Ora che ci penso: ma la seconda funzione è scritta giusta? No, perché se è quella, a me pare che possa essere definita solo per $x>0$... oppure quel quadrato al logaritmo va da qualche altra parte?
si, oddio scusa, il quadrato va nella x non nel logaritmo
ok ho trovato l'errore...il limite fa 2 quindi devo mettere $\alpha$ =0 giusto?
e le soluzioni sono (0,0)?
e le soluzioni sono (0,0)?
Per la seconda ottieni, per $x\to -1^+$ che il limite vale sempre zero. Pertanto anche il limite sinistro deve valere zero e quindi $\beta=0$.
Se invece calcoli il limite della seconda funzione per $x\to 1^-$ esso vale $2\alpha$, mentre il limite per $x\to 1^+$ della terza vale $0$, e quindi deve essere $2\alpha=0$, da cui $\alpha=0$. Giusto.
Ora sei in grado di vedere cosa accade quando $\alpha\ne 0,\ \beta\ne 0$? Suggerimento: i punti di discontinuità $x=-1$ e $x=1$ sono di tipo differente.
Se invece calcoli il limite della seconda funzione per $x\to 1^-$ esso vale $2\alpha$, mentre il limite per $x\to 1^+$ della terza vale $0$, e quindi deve essere $2\alpha=0$, da cui $\alpha=0$. Giusto.
Ora sei in grado di vedere cosa accade quando $\alpha\ne 0,\ \beta\ne 0$? Suggerimento: i punti di discontinuità $x=-1$ e $x=1$ sono di tipo differente.
dovrebbe essere per x=1 di prima specie (perché danno entrambi due numeri finiti e diversi tra loro)
per x=-1 dovrebbe essere di seconda specie perché il primo limite è infinito e il secondo è finito
è corretto?
per x=-1 dovrebbe essere di seconda specie perché il primo limite è infinito e il secondo è finito
è corretto?
Yes.
grazie mille 
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