Studio completo funzione
Ragazzi sono ufficialmente entrato in crisi.
Mi trovo davanti a questa funzione e la traccia mi richiede di farne lo studio completo (dominio, segno funzione, limiti e asintoti, continuità e derivabilità, intervalli ci crescenza e decrescenza, grafico, minimi relativi e assoluti).
Sto facendo tutto giusto ?
f(x) = $(x^2 + 4x) * e^ (-2/3x) $
1) il dominio è tutto l'insieme R.
2) segno della funzione :
f(x) > 0
$(x^2 + 4x) * e^ (-2/3x) $ >0
--> $e^ (-2/3x) $ > 0
x<-3/2
-->$(x^2 + 4x)$ >0
x>0,4
La funzione ha segno positivo per i valori compresi tra -3/2 e 0.
3) I limiti (viene uguale per -$oo$)
$\lim_{n \to \infty}(x^2 + 4x) $ = 0 quindi ASINTOTO ORIZZONTALE
4) continuità e derivabilità
????
Grazie mille in anticipo
Mi trovo davanti a questa funzione e la traccia mi richiede di farne lo studio completo (dominio, segno funzione, limiti e asintoti, continuità e derivabilità, intervalli ci crescenza e decrescenza, grafico, minimi relativi e assoluti).
Sto facendo tutto giusto ?
f(x) = $(x^2 + 4x) * e^ (-2/3x) $
1) il dominio è tutto l'insieme R.
2) segno della funzione :
f(x) > 0
$(x^2 + 4x) * e^ (-2/3x) $ >0
--> $e^ (-2/3x) $ > 0
x<-3/2
-->$(x^2 + 4x)$ >0
x>0,4
La funzione ha segno positivo per i valori compresi tra -3/2 e 0.
3) I limiti (viene uguale per -$oo$)
$\lim_{n \to \infty}(x^2 + 4x) $ = 0 quindi ASINTOTO ORIZZONTALE
4) continuità e derivabilità
????
Grazie mille in anticipo
Risposte
Dominio) Sì.
Segno) No. L'insieme di positività è il semiasse reale positivo. La disequazione da risolvere è quella indicata da te, ma poi la risolvi male. $x^2>0$ sempre, tranne che per il valore nullo; $e^(-2/3x)>0$ sempre; $4x>0$ se $x>0$. Dunque, con il tradizionale metodo del prodotto dei segni, ottieni $R^+$.
Asintoti) Sì.
Continuità) L'intervallo di continuità coincide almeno con il dominio, nel senso che può essere pari ad esso o di maggiore estensione (se comprende anche gli estremi inizialmente non compresi). In questo caso, il dominio coincide con l'asse reale, per cui con esso coinciderà anche l'intervallo cercato. Altrimenti avresti dovuto verificare l'esistenza dei limiti agli estremi suddetti.
Derivata prima). Derivando la funzione, si ottiene $-4/3e^(-2/3x)x^2(2x-9)$, che si annulla per il valore nullo e per $x=9/2$. La derivata prima è positiva (o nulla) se $x<=9/2$.
In generale (non sempre è necessario, se si ha intuito), ti consiglio di analizzare anche i seguenti punti: simmetrie (in questo caso, non ci sono); intersezioni con l'asse delle ascisse; massimi e minimi; derivata seconda; flessi. A titolo di verifica, la soluzione è la seguente:
Segno) No. L'insieme di positività è il semiasse reale positivo. La disequazione da risolvere è quella indicata da te, ma poi la risolvi male. $x^2>0$ sempre, tranne che per il valore nullo; $e^(-2/3x)>0$ sempre; $4x>0$ se $x>0$. Dunque, con il tradizionale metodo del prodotto dei segni, ottieni $R^+$.
Asintoti) Sì.
Continuità) L'intervallo di continuità coincide almeno con il dominio, nel senso che può essere pari ad esso o di maggiore estensione (se comprende anche gli estremi inizialmente non compresi). In questo caso, il dominio coincide con l'asse reale, per cui con esso coinciderà anche l'intervallo cercato. Altrimenti avresti dovuto verificare l'esistenza dei limiti agli estremi suddetti.
Derivata prima). Derivando la funzione, si ottiene $-4/3e^(-2/3x)x^2(2x-9)$, che si annulla per il valore nullo e per $x=9/2$. La derivata prima è positiva (o nulla) se $x<=9/2$.
In generale (non sempre è necessario, se si ha intuito), ti consiglio di analizzare anche i seguenti punti: simmetrie (in questo caso, non ci sono); intersezioni con l'asse delle ascisse; massimi e minimi; derivata seconda; flessi. A titolo di verifica, la soluzione è la seguente:
Non mi torna la derivata prima:
a me risulta cosi $e^-2/3x * (-2/3x^2 +2x -4/3) $
cosa sbaglio ?
a me risulta cosi $e^-2/3x * (-2/3x^2 +2x -4/3) $
cosa sbaglio ?
Puoi vedere la funzione come $4x^3e^(-2/3x)$, per cui la derivata cercata è la derivata di un prodotto. Si tratta della somma di 2 addendi: uno è dato dal prodotto tra la derivata di $4x^3$ (cioè $12x^2$) e $e^(-2/3x)$ (non derivato); l'altro dal prodotto tra $4x^3$ (non derivato) e la derivata di $e^(-2/3x)$ (cioè $-2/3e^(-2/3x)$).
"betti92":
Non mi torna la derivata prima:
a me risulta cosi $e^-2/3x * (-2/3x^2 +2x -4/3) $
cosa sbaglio ?
$(x^2*4x)*e^(-2/3x)
$
$
(4x^3)*e^(-2/3x)
$
Derivando il prodotto
$ d/dx(f(x)*g(x))= d(f(x))*g(x) + f(x) * d(g(x)) $
$12x^2*e^(-2/3x)+4x^3*e^(-2/3x)*(-2/3) $
Metto in evidenza
$ ((-4/3)(x^2)(e^(-2/3x))) (2x-9) $
Comunque ti posso consigliare quali erano i miei step per uno studio completo di funzione:
1) Dominio
2) Simmetrie (Parità/disparità) ed eventualmente periodicità per le funzioni periodiche
3) Intersezione con gli assi (non impostare però x=0 se il dominio non lo contiene
)4) Continuità e discontinuità
5) Derivabilità e punti di non derivabilità
6) Massimi e minimi
/) Comportamento alla frontiera del dominio ed eventuali asintoti orizzontali, verticali, obliqui
8) Studio della derivata seconda (concavità e convessità)
9) Disegno
Ragazzi la funzione è f(x) = $(x^2 + 4x) * e^ (-2/3x) $
e non f(x) = $(x^2 * 4x) * e^ (-2/3x) $
sorry
quindi ora risulta come la calcolo io
?
e non f(x) = $(x^2 * 4x) * e^ (-2/3x) $
sorry quindi ora risulta come la calcolo io
?
No.
Se la funzione è questa $(x^2+4x)*e^(-2/3x)$ allora la derivata sarà $(2x+4)*e^(-2/3x)+(x^2+4x)*e^(-2/3x)*(-2/3)$ e quindi $e^(-2/3x)*[(2x+4)+(x^2+4x)*(-2/3)]=e^(-2/3x)*[2x+4-(2x^2)/3-(8x)/3]=$
$=1/3e^(-2/3x)*[6x+12-2x^2-8x]=-2/3e^(-2/3x)*[x^2+x-6]$
Cordialmente, Alex
Se la funzione è questa $(x^2+4x)*e^(-2/3x)$ allora la derivata sarà $(2x+4)*e^(-2/3x)+(x^2+4x)*e^(-2/3x)*(-2/3)$ e quindi $e^(-2/3x)*[(2x+4)+(x^2+4x)*(-2/3)]=e^(-2/3x)*[2x+4-(2x^2)/3-(8x)/3]=$
$=1/3e^(-2/3x)*[6x+12-2x^2-8x]=-2/3e^(-2/3x)*[x^2+x-6]$
Cordialmente, Alex
Grazie Mille Alex! Ora per vedere gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione devo vedere il segno della derivata prima quindi porlo >0 giusto ? a te come risulta ?
e per i minimi e max ?
Grazie a tutti comunque
e per i minimi e max ?
Grazie a tutti comunque
Per vedere dove cresce (e dove no) studia il segno della derivata prima che nel caso in questione vuol dire studiare il segno di $x^2+x-6$ dato che l'esponenziale è sempre positivo e $-2/3$ sempre negativo.
Nei punti in cui si annulla possono esserci massimi o minimi.
Cordialmente, Alex
Nei punti in cui si annulla possono esserci massimi o minimi.
Cordialmente, Alex
Scusami Alex. Come mai nella derivata scompare al denominatore 3 ?
Perché ho raccolto $1/3$ (e adeguato i termini di conseguenza ... 
) ...
) ...
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