Studio carattere serie numerica
Buongiorno, sto preparando l'esame di analisi 2 e negli appunti ho trovato questa serie dopo la spieagazione del criterio del confronto solo che non riesc a capirci granchè.
$ sum^(oo) n/n^k $ con n che parte da 1.
mi si chiede di studiare tale serie al variare di k:
$ k<=0 $
$ k=1 $
$ k=2 $
$ 1< k < 2 $
$ k > 2 $
Ecco sarà che ancora ho poca dimestichezza ma non so da dove iniziare..qualcuno mi fa una spiegazione esauriente di come procedere ? (ah evidentemente posso utilizzare solo il criterio del confronto con serie come quella geometrica o armonica..)
$ sum^(oo) n/n^k $ con n che parte da 1.
mi si chiede di studiare tale serie al variare di k:
$ k<=0 $
$ k=1 $
$ k=2 $
$ 1< k < 2 $
$ k > 2 $
Ecco sarà che ancora ho poca dimestichezza ma non so da dove iniziare..qualcuno mi fa una spiegazione esauriente di come procedere ? (ah evidentemente posso utilizzare solo il criterio del confronto con serie come quella geometrica o armonica..)
Risposte
Ciao Stanzi96,
Beh, è piuttosto semplice, ti indirizzo solo un po'...
Ovviamente si può scrivere:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{n}{n^k} = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^{k - 1}} $
Per $k \le 0 $ la serie non può convergere perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy: $ lim_{n \to +infty} a_n = lim_{n \to +infty} frac{1}{n^{k - 1}} = 0 $
Quindi, essendo a termini positivi, si conclude che la serie diverge positivamente. Lo stesso accade per $k = 1$;
per $k = 2 $ la serie proposta diventa la serie armonica, notoriamente divergente.
Ora prova tu a completare i restanti casi, facendo uso del criterio del confronto...
Beh, è piuttosto semplice, ti indirizzo solo un po'...
Ovviamente si può scrivere:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{n}{n^k} = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^{k - 1}} $
Per $k \le 0 $ la serie non può convergere perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy: $ lim_{n \to +infty} a_n = lim_{n \to +infty} frac{1}{n^{k - 1}} = 0 $
Quindi, essendo a termini positivi, si conclude che la serie diverge positivamente. Lo stesso accade per $k = 1$;
per $k = 2 $ la serie proposta diventa la serie armonica, notoriamente divergente.
Ora prova tu a completare i restanti casi, facendo uso del criterio del confronto...
Grazie mille.
Per $ k> 2 $ posso ricondurmi alla serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1 e quindi converge.
Infine per $ 0< k< 1 $ mi posso ricondurre ad una serie armonica generalizzata con esponente che è sicuramente minore di 1 e quindi diverge. Idem per k tra 1 e 2.
Giusto?
Per $ k> 2 $ posso ricondurmi alla serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1 e quindi converge.
Infine per $ 0< k< 1 $ mi posso ricondurre ad una serie armonica generalizzata con esponente che è sicuramente minore di 1 e quindi diverge. Idem per k tra 1 e 2.
Giusto?
Che poi una volta "addomesticata" la serie come mi hai suggerito..si poteva confrontare sempre con la serie armonica generalizzata no?
Esatto...
Per $1 < k < 2 $ poi si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^{k - 1}} > sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n} $
e l'ultima scritta è la serie armonica, notoriamente divergente: dunque per $1 < k < 2 $ la serie proposta è positivamente divergente per il criterio del confronto. In definitiva la serie proposta converge solo per $k > 2 $
Per $1 < k < 2 $ poi si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^{k - 1}} > sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n} $
e l'ultima scritta è la serie armonica, notoriamente divergente: dunque per $1 < k < 2 $ la serie proposta è positivamente divergente per il criterio del confronto. In definitiva la serie proposta converge solo per $k > 2 $
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