Studio carattere serie con sviluppo taylor
Ciao a tutti.Potreste aiutarmi a capire il carattere di questa serie?
$\sum_{n=1}^(+\infty) (sinn)*(1-n^2*(ln(1+1/n)))$
Allora io fino ad ore ho capito le seguenti cose:
1)nn è una serie a termini positivi per la presenza di $sinn$.Non riesco a capire xò se il secondo termine è positivo o no.
Io ho fatto la seguente maggiorazione:
$|(sinn)*(1-n^2*(ln(1+1/n)))|<=(1-n^2*(ln(1+1/n)))$
Praticamente ho tolto il seno maggiornadolo con 1.Nella seconda serie di confronto devo mettere il valore assoluto?
Come posso procedere dopo?
$\sum_{n=1}^(+\infty) (sinn)*(1-n^2*(ln(1+1/n)))$
Allora io fino ad ore ho capito le seguenti cose:
1)nn è una serie a termini positivi per la presenza di $sinn$.Non riesco a capire xò se il secondo termine è positivo o no.
Io ho fatto la seguente maggiorazione:
$|(sinn)*(1-n^2*(ln(1+1/n)))|<=(1-n^2*(ln(1+1/n)))$
Praticamente ho tolto il seno maggiornadolo con 1.Nella seconda serie di confronto devo mettere il valore assoluto?
Come posso procedere dopo?
Risposte
Vi è la possibilità che la traccia sia errata? Secondo me ci manca un quadrato alla $n$ del logaritmo.
Secondo me anche.Questo è un esercizio che ho preso dai compiti svolti del mio prof e lui la svolge in questo modo:
Come prima cosa fa la maggiorazione ke ho fatto io senza però mettere il valore assoluto sulla serie di confronto(sinceramente non capisco il motivo).
Poi si sviluppa in serie di taylor il $ln(1+x)$ fermandosi al secondo ordine e scrive la seguente cosa:
$1-n^2(ln(1+1/n))=1/2n^2+o(1/n^2)$ e poi da qui deduce la convergenza.
Ma io non sto riuscendo a capire che passaggio fa.Chi mi può aiutare?
Come prima cosa fa la maggiorazione ke ho fatto io senza però mettere il valore assoluto sulla serie di confronto(sinceramente non capisco il motivo).
Poi si sviluppa in serie di taylor il $ln(1+x)$ fermandosi al secondo ordine e scrive la seguente cosa:
$1-n^2(ln(1+1/n))=1/2n^2+o(1/n^2)$ e poi da qui deduce la convergenza.
Ma io non sto riuscendo a capire che passaggio fa.Chi mi può aiutare?
Allora, penso che il tuo professore abbia provato con la convergenza assoluta.
Il termine $1-n^2(ln(1+1/n^2))$ (qualora fosse così) è sempre positivo poichè:
$1-n^2(ln(1+1/n^2))>=0 rightarrow ln(1+1/n^2)<=1/n^2$ (posso farlo perchè come condizione di esistenza $n!=0$ sicuramente) $rightarrow 1+1/n^2<=e^(1/n^2)$
Dallo sviluppo di McLaurin di $e^x$ ottengo $e^(1/n^2)-1/n^2-1=1/n^4+o(1/n^4)$ dunque $e^(1/n^2)-1/n^2-1>=1/n^4>=0, AAn>0$
Per questo può togliere il valore assoluto dalla maggiorazione.
A questo punto va a valutare l'ordine di infinitesimo della funzione maggiorante facendo:
$\lim_{n \to \infty}(1-n^2(ln(1+1/n^2)))/(1/n^alpha)$ da cui ottiene:
$\lim_{n \to \infty}(1-n^2(1/n^2-1/(2n^4)+o(1/n^4)))/(1/n^alpha) rightarrow \lim_{n \to \infty}(1-1+1/(2n^2)+o(1/n^2))/(1/n^alpha) rightarrow \lim_{n \to \infty}(1/(2n^2)+o(1/n^2))/(1/n^alpha)$ da cui si deduce che la serie è dello stesso ordine di $1/n^2$ che è convergente.
Quindi converge la maggiorazione, quindi converge assolutamente, quindi converge la serie.
Il termine $1-n^2(ln(1+1/n^2))$ (qualora fosse così) è sempre positivo poichè:
$1-n^2(ln(1+1/n^2))>=0 rightarrow ln(1+1/n^2)<=1/n^2$ (posso farlo perchè come condizione di esistenza $n!=0$ sicuramente) $rightarrow 1+1/n^2<=e^(1/n^2)$
Dallo sviluppo di McLaurin di $e^x$ ottengo $e^(1/n^2)-1/n^2-1=1/n^4+o(1/n^4)$ dunque $e^(1/n^2)-1/n^2-1>=1/n^4>=0, AAn>0$
Per questo può togliere il valore assoluto dalla maggiorazione.
A questo punto va a valutare l'ordine di infinitesimo della funzione maggiorante facendo:
$\lim_{n \to \infty}(1-n^2(ln(1+1/n^2)))/(1/n^alpha)$ da cui ottiene:
$\lim_{n \to \infty}(1-n^2(1/n^2-1/(2n^4)+o(1/n^4)))/(1/n^alpha) rightarrow \lim_{n \to \infty}(1-1+1/(2n^2)+o(1/n^2))/(1/n^alpha) rightarrow \lim_{n \to \infty}(1/(2n^2)+o(1/n^2))/(1/n^alpha)$ da cui si deduce che la serie è dello stesso ordine di $1/n^2$ che è convergente.
Quindi converge la maggiorazione, quindi converge assolutamente, quindi converge la serie.
"EnderWiggins":
Allora, penso che il tuo professore abbia provato con la convergenza assoluta.
Il termine $1-n^2(ln(1+1/n^2))$ (qualora fosse così) è sempre positivo poichè:
Però ci devo aggiungere il quadrato; perchè senza quadrato quel termine risulta essere negativo.Se non sbaglio.
Secoda domanda: devo fare quindi lo sviluppo di taylor di $e$ e nn di $ln(1+x)$?
"identikit_man":
Però ci devo aggiungere il quadrato; perchè senza quadrato quel termine risulta essere negativo.Se non sbaglio.
Secoda domanda: devo fare quindi lo sviluppo di taylor di $e$ e nn di $ln(1+x)$?
Se non ci fosse il quadrato, la disuguaglianza è falsa. Tra l'altro la tua successione viene maggiorata da una'altra la cui serie diverge, dunque il criterio applicato dal tuo prof è errato. Secondo me è stata una svista, può capitare.
Risposta alla seconda domanda, devi sviluppare il logaritmo.
Sono d'accordo con la svista, o non avrebbe nemmeno senso lo sviluppo da lui fatto. Comunque sì, sono ricorso alla disuguaglianza per convertire $log$ in $e$ perchè mi è personalmente più congeniale, il meglio sarebbe sviluppare direttamente il logaritmo
Ok grazie 1000 gentilissimi come sempre.Vi devo una cena
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