Studio carattere serie a termini alternati
Ragazzi, scusatemi se non scrivo la formula in maniera corretta, ma non ci sono riuscito.
Comunque vi chiedo se potete darmi una mano nello studio del carattere della seguente serie:
\( (-1)^n(1-\cos (n/(n^2+1))) \) per \( n \) che va da \( 1 \) a \( \infty \)
Applicando in criterio di Liebniz ho fatto il limite, e viene 0!
Non riesco a vedere se è decrescende adesso $a_(n+1)$
Comunque vi chiedo se potete darmi una mano nello studio del carattere della seguente serie:
\( (-1)^n(1-\cos (n/(n^2+1))) \) per \( n \) che va da \( 1 \) a \( \infty \)
Applicando in criterio di Liebniz ho fatto il limite, e viene 0!
Non riesco a vedere se è decrescende adesso $a_(n+1)$
Risposte
ciao 
ti do la mia opinione a riguardo, potrei anche sbagliare
per serie a termini di segno alterno, l'unica strada percorribile per lo studio del carattere è il criterio di Leibniz.
la serie in questione è :
① $a_n$ è infinitesimo? si
② $a_n > a_n+1$? il termine generale della serie è decrescente?
qui puoi ricorrere: ① alla derivata prima, qualora sia sempre negativa per n positivi allora la successione è decrescente ② puoi anche dimostrarlo in modo qualitativo, come farò io
.
$a_n < a_n+1$ =>$ (1- cos(n/(n^2+1))) > (1- cos((n+1)/((n+1)^2+ 1))) $
mi sembra evidente che la successione è decrescente e la disequazione è verificata.
basta andare a sostituirci qualche n per rendersene conto.. con n sempre più grandi gli elementi della serie sono sempre più "schiacciati a zero". e ogni elemento della serie è sempre più piccolo di quelli che lo precedono.
se ricordi la teoria degli infiniti, il quadrato a denominatore del coseno "vince" sul numeratore di grado inferiore..
ti do la mia opinione a riguardo, potrei anche sbagliare
per serie a termini di segno alterno, l'unica strada percorribile per lo studio del carattere è il criterio di Leibniz.
la serie in questione è :
$sum_(n=1)^oo (-1)^n (1- cos(n/(n^2+1)))$
① $a_n$ è infinitesimo? si
② $a_n > a_n+1$? il termine generale della serie è decrescente?
qui puoi ricorrere: ① alla derivata prima, qualora sia sempre negativa per n positivi allora la successione è decrescente ② puoi anche dimostrarlo in modo qualitativo, come farò io
.$a_n < a_n+1$ =>$ (1- cos(n/(n^2+1))) > (1- cos((n+1)/((n+1)^2+ 1))) $
mi sembra evidente che la successione è decrescente e la disequazione è verificata.
basta andare a sostituirci qualche n per rendersene conto.. con n sempre più grandi gli elementi della serie sono sempre più "schiacciati a zero". e ogni elemento della serie è sempre più piccolo di quelli che lo precedono.
se ricordi la teoria degli infiniti, il quadrato a denominatore del coseno "vince" sul numeratore di grado inferiore..
"Suv":
② $a_n < a_n+1$? il termine generale della serie è decrescente?
qui puoi ricorrere: ① alla derivata prima, qualora sia sempre negativa per n positivi allora la successione è decrescente ② puoi anche dimostrarlo in modo qualitativo, come farò io
$a_n < a_n+1$ =>$ (1- cos(n/(n^2+1))) < (1- cos((n+1)/((n+1)^2+ 1))) $
mi sembra evidente che la successione è decrescente e la disequazione è verificata.
basta andare a sostituirci qualche n per rendersene conto.. con n sempre più grandi gli elementi della serie sono sempre più "schiacciati a zero". e ogni elemento della serie è sempre più piccolo di quelli che lo precedono.
se ricordi la teoria degli infiniti, il quadrato a denominatore del coseno "vince" sul numeratore di grado inferiore..
Esattamente anche io avevo iniziato a risolverla con Leibniz, solo che non riuscivo a vedere se il termine generale della serie è descrescente, quindi mi hai mostrato appunto ciò che non riuscivo a fare, ti ringrazio sei stato chiarissimo!
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