Studio carattere serie

[vfio]

Salve, mi aiutate per favore a studiare il carattere di questa serie?


$\sum_{n=2}^\infty\-ln(n^-3+n^-5+1)$

[Studente Anonimo]

Qualche tentativo tuo?

[pilloeffe]

Ciao Vito25,

Se la riscrivi in un modo un po' meno barbaro e fai uso di una ben nota disuguaglianza dovresti riuscire a concludere che la serie numerica proposta converge ad un valore negativo $S \in (-1/4, 0)$

[vfio]

Grazie per la risposta. É per mia figlia, ha molta difficoltà. Io non le faccio da trent'anni. Volevo un aiuto per capire quale criterio usare.

[Studente Anonimo]

"Vito25": Volevo un aiuto per capire quale criterio usare.

Dipende un po' da quello che ha fatto a lezione. In generale bisogna capire "a quale velocita'" va a \(0\) il termine generale della serie. In questo caso hai sostanzialmente \( \log(1+x)\) con \(x\) piccolo e positivo.

[pilloeffe]

"Vito25":Volevo un aiuto per capire quale criterio usare.

Come ti dicevo io userei il criterio del confronto, riscrivendo la serie proposta nella forma

$- \sum_{n = 2}^{+\infty} ln(1 + 1/n^3 + 1/n^5) = - \sum_{n = 2}^{+\infty} ln(1 + x) $

avendo posto $x := 1/n^3 + 1/n^5 $ ed essendo $0 < x < 1 $ per ogni $n \in \NN_{\ge 2} $
Poi per comodità considererei il valore assoluto della serie proposta (senza il segno $-$) e la ben nota disuguaglianza $ln(1 + x) \le x $ valida per ogni $x \ge 0 $

[vfio]

Ok quindi dato che la somma delle serie geometriche generalizzate converge allora convergerà anche la serie data. Corretto ?

[pilloeffe]

"Vito25":[...] serie geometriche generalizzate [...]

Immagino che intendessi dire serie armoniche generalizzate...

Per la precisione si ha:

$\sum_{n = 2}^{+\infty} ln(1 + x) < \sum_{n = 2}^{+\infty} x = \sum_{n = 2}^{+\infty} (1/n^3 + 1/n^5) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n^3 + \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n^5 = \zeta(3) - 1 + \zeta(5) - 1 = $

$= \zeta(3) + \zeta(5) - 2 ~~ 0,238985 $

[vfio]

Perdonami sono in confusione, sto studiando tutti i criteri e mi sono impallato

[vfio]

Grazie mille sei stato gentilissimo

[pilloeffe]

"Vito25":Grazie mille sei stato gentilissimo

Prego!

"Vito25":É per mia figlia, ha molta difficoltà. Io non le faccio da trent'anni.

Se posso darti un consiglio, dovrebbe essere tua figlia ad iscriversi al forum e a postare le domande: immagino che frequenti l'Università, per cui è abbastanza grande e soprattutto è lei che deve prendere confidenza con l'argomento (e qui sto parlando dell'Analisi matematica in generale, non solo dell'argomento "serie" di questo thread), non tu... Anche perché sarà lei che dovrà sostenere l'esame, tu l'hai già fatto a suo tempo: mica potrai andare a sostenere l'esame al posto suo...