Studio carattere serie
Salve a tutti!
Durante lo svolgimento di alcuni esercizi mi sono imbattuto nella seguente serie di cui non so come studiarne il carattere...
$ Σ $ $ 2^-sqrt(n) $
grazie a chi mi risponderà!
Durante lo svolgimento di alcuni esercizi mi sono imbattuto nella seguente serie di cui non so come studiarne il carattere...
$ Σ $ $ 2^-sqrt(n) $
grazie a chi mi risponderà!
Risposte
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"sellacollesella":
Dovresti sapere che la serie numerica \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\end{aligned}\) è convergente, quindi...
Diciamola meglio, altrimenti sembra che l'hai tirata fuori dal cilindro... L'idea sarebbe quella di usare qualche criterio apposito per le serie a termini positivi: quali conosci?
Come puoi applicarli?
Ciao ton32,
Non si capisce bene se la serie proposta parte da $n = 0$ oppure da $n = 1 $: si supporrà per comodità che parta da $n = 1 $, tanto comunque se partisse da $n = 0 $ cambierebbe poco, dato che ovviamente si ha:
$\sum_{n = 0}^{+\infty} 2^-\sqrt(n) = 1 + \sum_{n = 1}^{+\infty} 2^-\sqrt(n) $
Ciò che ti ha scritto sellacolleserra è vero, ma si basa sulla disuguaglianza $2^{\sqrt n} \ge n^2 $, che è vera per $n = 0 $, $n = 1 $ e $n \ge 256 $, il che non è proprio immediato da dimostrare...
Posto $a_n := 2^-sqrt(n) $ si ha evidentemente $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ e dunque è soddisfatta la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy e la serie proposta può convergere. Ora, se non ho fatto male i conti, non abbiamo risposte né dal criterio del rapporto, né dal criterio della radice. La prima soluzione che ti propongo, che fornisce anche una buona stima del valore della serie, è la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 2^{-\sqrt n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/2^{sqrt n} = $
$ = \underbrace{1/2^1 + 1/2^\sqrt2 + 1/2^\sqrt3}_{3 \text{ termini}} + \underbrace{1/2^\sqrt4 + 1/2^\sqrt5 + 1/2^\sqrt6 + 1/2^\sqrt7 + 1/2^\sqrt8}_{5 \text{ termini}} +
\underbrace{1/2^\sqrt9 + ... }_{7 \text{ termini}} + ... \le $
$\le 3 \cdot 1/2 + 5 \cdot 1/4 + 7 \cdot 1/8 + ... + (2k + 1)(1/2)^k + ... = $
$ = 2 \sum_{n = 1}^{+\infty} n(1/2)^n + \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/2)^n = 2 \cdot 2 + 1 = 5 $
(per risolvere la penultima serie puoi dare un'occhiata ad esempio qui).
Un'altra soluzione si ottiene facendo uso dello sviluppo in serie binomiale:
$(1 + x)^\alpha = 1 + \alphax + (\alpha(\alpha - 1))/2 x^2 + (\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2))/6 x^3 + ... $
Nel caso in esame si ha $x = 1 $ e $\alpha = \sqrt n $, sicché si ha:
$2^{\sqrt n} = 1 + \sqrt n + (\sqrt n(\sqrt n - 1))/2 + (\sqrt n(\sqrt n - 1)(\sqrt n - 2))/6 + ... \ge (\sqrt{n^3})/6 $
Quindi si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/2^{\sqrt n} \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 6/(\sqrt{n^3}) = 6 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2} $
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $p = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.
"ton32":
$ Σ $ $ 2^-sqrt(n) $
Non si capisce bene se la serie proposta parte da $n = 0$ oppure da $n = 1 $: si supporrà per comodità che parta da $n = 1 $, tanto comunque se partisse da $n = 0 $ cambierebbe poco, dato che ovviamente si ha:
$\sum_{n = 0}^{+\infty} 2^-\sqrt(n) = 1 + \sum_{n = 1}^{+\infty} 2^-\sqrt(n) $
Ciò che ti ha scritto sellacolleserra è vero, ma si basa sulla disuguaglianza $2^{\sqrt n} \ge n^2 $, che è vera per $n = 0 $, $n = 1 $ e $n \ge 256 $, il che non è proprio immediato da dimostrare...
Posto $a_n := 2^-sqrt(n) $ si ha evidentemente $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ e dunque è soddisfatta la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy e la serie proposta può convergere. Ora, se non ho fatto male i conti, non abbiamo risposte né dal criterio del rapporto, né dal criterio della radice. La prima soluzione che ti propongo, che fornisce anche una buona stima del valore della serie, è la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 2^{-\sqrt n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/2^{sqrt n} = $
$ = \underbrace{1/2^1 + 1/2^\sqrt2 + 1/2^\sqrt3}_{3 \text{ termini}} + \underbrace{1/2^\sqrt4 + 1/2^\sqrt5 + 1/2^\sqrt6 + 1/2^\sqrt7 + 1/2^\sqrt8}_{5 \text{ termini}} +
\underbrace{1/2^\sqrt9 + ... }_{7 \text{ termini}} + ... \le $
$\le 3 \cdot 1/2 + 5 \cdot 1/4 + 7 \cdot 1/8 + ... + (2k + 1)(1/2)^k + ... = $
$ = 2 \sum_{n = 1}^{+\infty} n(1/2)^n + \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/2)^n = 2 \cdot 2 + 1 = 5 $
(per risolvere la penultima serie puoi dare un'occhiata ad esempio qui).
Un'altra soluzione si ottiene facendo uso dello sviluppo in serie binomiale:
$(1 + x)^\alpha = 1 + \alphax + (\alpha(\alpha - 1))/2 x^2 + (\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2))/6 x^3 + ... $
Nel caso in esame si ha $x = 1 $ e $\alpha = \sqrt n $, sicché si ha:
$2^{\sqrt n} = 1 + \sqrt n + (\sqrt n(\sqrt n - 1))/2 + (\sqrt n(\sqrt n - 1)(\sqrt n - 2))/6 + ... \ge (\sqrt{n^3})/6 $
Quindi si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/2^{\sqrt n} \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 6/(\sqrt{n^3}) = 6 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2} $
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $p = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.
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"sellacollesella":
Dove avrei scritto ciò, di grazia?!
Da nessuna parte, ho immaginato io che avessi usato il confronto e non il confronto asintotico (che peraltro l'OP potrebbe non conoscere ancora: quando iniziai a studiare le serie all'Università ad esempio il confronto asintotico me lo spiegarono un bel po' dopo aver cominciato lo studio serie): il problema è proprio la cripticità della tua risposta precedente, dalla quale non si capisce da dove hai tirato fuori la serie che hai scritto... Con questo tuo secondo post almeno hai chiarito di aver usato il confronto asintotico...
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A quest'ora? 
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"sellacollesella":
Oggi mi è stato detto che non ho scritto bene ...
Beh no, io questo non l'ho mai detto: poi non so se lo ha fatto qualcun altro oggi...
Ho solo ipotizzato, sbagliando a mia volta, che avessi usato il criterio del confronto per le serie numeriche a termini positivi.
"sellacollesella":
Poi, vien fuori che sono troppo criptico [...]
Ecco, questo invece secondo me un po' sì (anche se troppo io non l'ho scritto, l'hai aggiunto tu...
) e a quanto pare anche secondo gugo82 che ha postato prima di me: guarda che sarebbe bastato semplicemente scrivere nel primo post il limite che poi hai scritto nel secondo per chiarire a tutti (e quindi anche all'OP) che stavi facendo uso del criterio del confronto asintotico e quindi da dove hai tirato fuori la serie che hai scritto...
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"sellacollesella":
[quote="pilloeffe"]sarebbe bastato semplicemente scrivere nel primo post il limite che poi hai scritto nel secondo
L'ho scritto nel secondo post perché ormai non aveva più alcun senso attendere il ragionamento di OP perché avevi già scritto un libro e mezzo di soluzione. Però, ripeto, amen, a me interessa fino ad un certo punto, poi ho altro a cui pensare ... molto altro ... non ho alcun interesse star qui a bisticciare sul sesso degli angeli.
[/quote]Sinceramente, penso che pilloeffe abbia sbagliato a sbolognare la soluzione completa, soprattutto dopo che ha letto i tentativi di far ragionare OP da parte tua e mia.
Capita, purtroppo, anche se non è più un utente di primo pelo.
grazie a tutti per le risposte.. in precedenza avevo provato criterio della radice e criterio del rapporto i quali non danno nessuna informazione.. per esclusione pensavo di risolvesse con il criterio del confronto il problema è che non avevo idea di che serie usare.
in definitiva oltre al criterio del confronto con la serie $1/(n^(3/2))$ non vi è nessun altro criterio con il quale studiarne il carattere giusto?
In più volevo chiedervi se esiste un modo più intuitivo per quanto riguarda il criterio del confronto per trovare le serie con cui confrontare le serie di partenza.
vi ringrazio!!
in definitiva oltre al criterio del confronto con la serie $1/(n^(3/2))$ non vi è nessun altro criterio con il quale studiarne il carattere giusto?
In più volevo chiedervi se esiste un modo più intuitivo per quanto riguarda il criterio del confronto per trovare le serie con cui confrontare le serie di partenza.
vi ringrazio!!
"ton32":
In più volevo chiedervi se esiste un modo più intuitivo per quanto riguarda il criterio del confronto per trovare le serie con cui confrontare le serie di partenza.
Beh, il modo più veloce è sicuramente quello del confronto asintotico che ti ha già indicato sellacollesella. Se per qualche motivo non vuoi (o non puoi) usare quello, puoi usare il confronto con lo sviluppo in serie che ti ho scritto io.
"ton32":
in definitiva oltre al criterio del confronto con la serie $1/(n^(3/2))$ non vi è nessun altro criterio con il quale studiarne il carattere giusto?
Se hai studiato gli integrali impropri, c'è anche il criterio dell'integrale. Le sue ipotesi sono verificate (esercizio: verificarle), quindi il carattere della serie è equivalente al carattere dell'integrale improprio:
$$\int_1^{+\infty} 2^{-\sqrt{x}}\text{d}x$$
Ma è un metodo farraginoso rispetto agli altri proposti precedentemente.
"ton32":
in definitiva oltre al criterio del confronto con la serie $1/(n^(3/2))$ non vi è nessun altro criterio con il quale studiarne il carattere giusto?
Visto che il problema di stabilire il carattere di una serie è uno dei problemi fondamentali dell'Analisi, i criteri di convergenza non si limitano a quelle quattro cosette che si vedono nei corsi base... In altri termini: il mondo è pieno di criteri di convergenza che non conosci.
Ad esempio, se, come al solito, chiami $a_n := 2^(-sqrt(n))$, visto che:
\[
\begin{split}
\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1&= 2^{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} -1 \\
&= 2^{\sqrt{n} ( \sqrt{1 + 1/n} - 1)} - 1\\
&= 2^{\sqrt{n} (\frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + \operatorname{o}(\frac{1}{n^2}))} - 1\\
&= 2^{\frac{1}{2\sqrt{n}} - \frac{1}{8n \sqrt{n}} + \operatorname{o}(\frac{1}{n \sqrt{n}})} - 1\\
&= \log (2) \left( \frac{1}{2\sqrt{n}} - \frac{1}{8n \sqrt{n}} + \operatorname{o}(\frac{1}{n \sqrt{n}}) \right) + \frac{1}{2}\log^2 (2) \left( \frac{1}{2\sqrt{n}} - \frac{1}{8n \sqrt{n}} + \operatorname{o}(\frac{1}{n \sqrt{n}}) \right)^2 + \\
&\phantom{= +} + \operatorname{o}\left[\left( \frac{1}{2\sqrt{n}} - \frac{1}{8n \sqrt{n}} + \operatorname{o}(\frac{1}{n \sqrt{n}})\right)^2\right] \\
&= \frac{\log (2)}{2\sqrt{n}} + \frac{\log^2 (2)}{8n} + \operatorname{o}\left(\frac{1}{n}\right)
\end{split}
\]
(usando un po' di approssimazioni di Taylor) trovi anche:
\[
n\left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = \frac{\log (2)}{2} \sqrt{n} + \frac{\log^2 (2)}{8} + \operatorname{o}(1) \quad \Rightarrow \quad \lim_n n\left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = +\infty
\]
e la tua serie converge per il criterio di Raabe.
"ton32":
In più volevo chiedervi se esiste un modo più intuitivo per quanto riguarda il criterio del confronto per trovare le serie con cui confrontare le serie di partenza.
Il metodo più intuitivo consiste nel farsi una stima dell'ordine di infinitesimo della successione degli addendi (ammesso che sia soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza) e poi confrontare con una serie armonica generalizzata d'esponente adeguato alle necessità.
In questo caso, la successione degli addendi è infinitesima d'ordine infinitamente elevato (perché $lim_n n^p a_n = 0$ per ogni $p > 0$), quindi puoi confrontare con qualsiasi serie armonica generalizzata che ti convenga.
In alternativa si può applicare il "famoso" Criterio del logaritmo di pilloeffe:
data una serie a termini positivi $\sum a_n $, se $\lim_{n \to +\infty} log_n a_n = L $ e $L \in [-\infty, - 1) $ allora la serie converge.
Nel caso in esame si ha:
$\lim_{n \to +\infty} log_n 2^{-\sqrt n} = \lim_{n \to +\infty} (-\sqrt(n) log_n 2) = -\lim_{n \to +\infty} \sqrt(n) (log_2 2)/(log_2 n) = -\lim_{n \to +\infty}\sqrt(n)/(log_2 n) = -\infty $
Pertanto la serie proposta converge (come d'altronde sapevamo già... ).
data una serie a termini positivi $\sum a_n $, se $\lim_{n \to +\infty} log_n a_n = L $ e $L \in [-\infty, - 1) $ allora la serie converge.
Nel caso in esame si ha:
$\lim_{n \to +\infty} log_n 2^{-\sqrt n} = \lim_{n \to +\infty} (-\sqrt(n) log_n 2) = -\lim_{n \to +\infty} \sqrt(n) (log_2 2)/(log_2 n) = -\lim_{n \to +\infty}\sqrt(n)/(log_2 n) = -\infty $
Pertanto la serie proposta converge (come d'altronde sapevamo già...
).
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